Question

Um sistema massa-mola com a equação de movimento 100x''+ 400x = f(t) se submete a uma força harmônica f(t) = 10 cos(ωt) N.
Determine a resposta em regime permanente do sistema quando ω é igual a:
- 0,2 rad/s
- 20 rad/s
- 2 rad/s

Qual fenômeno acontece na última frequência de 2 rad/s?

Answer 1

O sistema massa-mola é descrito pela seguinte equação diferencial de segunda ordem:

$100\frac{d^2x}{dt^2}+400x = 10cos(\omega t)$

que pode ser reescrita como:

$\frac{d^2x}{dt^2}+4x = 0.1cos(\omega t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Como resposta forçada, partiremos com a proposta

$x_f(t)=Asen(\omega t) + Bcos(\omega t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

com $A$ e $B$ sendo constantes. As derivadas da resposta forçada proposta são:

$\frac{d^2x_f}{dt^2}= -\omega^2 Asen(\omega t) - \omega^2 Bcos(\omega t) \ \ \ \ \ (3)$

Como $x_f$ é uma solução da EDO dada, pode-se substituir (2) e (3)  em (1):

$-\omega^2 Asen(\omega t) - \omega^2 Bcos(\omega t) + 4Asen(\omega t) + 4Bcos(\omega t) = 0.1cos(\omega t)$

$(-\omega^2 A+ 4A)sen(\omega t) +(-\omega^2 B+4B)cos(\omega t) = 0.1cos(\omega t) \\ \\A(-\omega^2 + 4)sen(\omega t) +B(-\omega^2 +4)cos(\omega t) = 0.1cos(\omega t)$

Da qual pode-se concluir que $A=0$ e que $B(-\omega^2 +4)=0.1$ . Ou seja, tem-se que:

$B = \frac{0.1}{-\omega^2 +4}$

Logo, a resposta em regime permanente será:

$x_f(t)= \frac{0.1}{-\omega^2 +4}cos(\omega t)$

(a) Para $\omega=0,2 \ rd/s$, tem-se que

$x_f(t)= \frac{0.1}{-\omega^2 +4}cos(\omega t) = \frac{0.1}{-0,2^2 +4}cos(\omega t) = 0.03cos(\omega t)$

(b) Para $\omega=20 \ rd/s$, tem-se que

$x_f(t)= \frac{0.1}{-\omega^2 +4}cos(\omega t) = \frac{0.1}{-20^2 +4}cos(\omega t) = -0.0003cos(\omega t)$

(c) Para $\omega=2 \ rd/s$, note que o denominador da resposta em regime permanente será nulo, o que gera uma indeterminação fazendo com que a resposta tenda ao infinito.

     

Esse fenômeno é conhecido como ressonância, e acontece quando a frequência da força externa é igual ou muito próxima à frequência natural do sistema. As frequências naturais podem ser calculadas como as raízes da equação característica da EDO homogênea associada (100x''+400x=0). O polinômio característico é $100r^2+400=0$, cujas raízes são $r=2$ e $r=-2$. Como nesse último caso a frequência da força externa é idêntica à frequência natural, ocorrerá o fenômeno da ressonância.