Question

Um sistema formado por um pêndulo simples de massa 0,5 kg oscila de acordo com a equação abaixo.
θ(t)= x_m cos(4.t)
E as condições iniciais são:
θ(0)=0,5 rad
dθ/dt=0
Determine:(a) O comprimento L do pêndulo; (b) a amplitude.
Alguém poderia me ajudar?

Answer 1

O comprimento da corda é 0,6 e a amplitude é 0,5

O comprimento $l$ pode ser obtido de forma simples.

a frequencia $\omega$ é dada por $\omega=\frac{2\pi}{T}$

Portanto o periodo$T$ é $T=\frac{2\pi}{\omega}$

Lembrando que, para o caso de pequenas oscilações, o período de oscilação é de um pendulo simples é descrito por

$T=2\pi\sqrt\frac{l}{g}$

podemos obter o valor de $l$ ao fazer

$l=\dfrac{gT^2}{4\pi^2}$

e substituindo o valor de $T$ teremos

$l=\dfrac{\,\,\,\,\,g\dfrac{4\pi^2}{\omega^2}\,\,\,\,}{4\pi^2}=\dfrac{g}{\omega^2}$

Adotando a gravidade igual a 9,8$\frac{m}{s^2}$ teremos

$l=\dfrac{9,8}{4^2}=0,6 m$

Já para determinar a amplitude, o regime dado pela condição inicial não é a o regime de pequenas oscilações.

A equação diferencial que trata das oscilações de um pendulo simples é

$\dfrac{d^2\theta}{dt^ 2}+\dfrac{g}{l}sen\theta=0$

Mas ao carregar a solução desta equação não linear, iremos encontrar o período do pendulo para qualquer angulo ao chegar na integral

$4\sqrt{\dfrac{l}{g}}\int_0^{\theta_0}\dfrac{\d\theta}{\sqrt{cos\theta-cos\theta_0}$

E esta integral não resulta em uma função comum.

Este tipo de integral é conhecida como integral elíptica e tem série dada por

$T=2\pi\sqrt\dfrac{l}{g}(1+\dfrac{\theta^2}{16}+\dfrac{11\theta^4}{3072}+...)$

Usando a aproximação até termos de segunda ordem, temos

$T=2\pi\sqrt\dfrac{l}{g}(1+\dfrac{\theta^2}{16})$

utilizando $\theta=0,5 rad$ e substituindo os valores da gravidade e do comprimento da corda, encontramos o período

$T=2\pi\sqrt\dfrac{0,6}{9,8}(1+\dfrac{0,5^2}{16})=2\pi\times0,25$

Lembrando que $\theta=x_mcos(\omega t)$  onde $\omega$ será agora [/tex]\omega=\frac{2\pi}{2\pi\times0,25}=\frac{1}{0,25}=4[/tex], teremos

$\theta=0,5=x_m\times cos(4t)$

E como $cos(4t)$ tem máximo igual a 1, podemos fazer

$\theta=0,5=x_m\times 1$

$0,5=x_m\times 1$

portanto a amplitude será 0,5