Question

Um sistema composto de duas cunhas de massas M1 = 11,26kg e M2 = 6,62kg é empurrado por uma força F sobre uma mesa. O ângulo é de 31 graus e o coeficiente de atrito estático entre elas é de 0,50. Não existe atrito entre a mesa e o conjunto. Considere a gravidade g = 9,8 m/s²

a) Qual a aceleração máxima do sistema sem que ocorra deslocamento de uma cunha com relação à outra?
b) Qual o módulo da força F que precisa ser exercida para que o sistema tenha a aceleração encontrada no item anterior?
c) Qual o módulo da força normal que a cunha M1 exerce sobre a cunha M2?

Answer 1

Vamos começar determinando a aceleração do sistema (m₁+m₂) em função da força F pela 2ª Lei de Newton:

$F~=~m\cdot a\\\\\\F~=~(m_1+m_2)\cdot a\\\\\\\boxed{a~=~\dfrac{F}{m_1+m_2}}$

Claro, como m₁ e m₂ fazem parte do sistema, suas acelerações serão iguais a aceleração "a" do sistema.

Com a força F empurrando m₁, surgirá uma força de contato entre as superfícies de m₁ e m₂, ou seja, m₁ começará a empurrar m₂ com uma força F₁₂ e, como reação (3ª Lei de Newton), m₂ empurrará m₁ com uma força F₂₁ de mesmo módulo e direção de F₁₂, porém sentido oposto.

Veja essa situação representada na primeira figura anexada.

Sabemos que a força F₁₂ é a força responsável por acelerar m₂ com a aceleração do sistema, assim, aplicando novamente a 2ª Lei de Newton, temos:

$F~=~m\cdot a\\\\\\F_{12}~=~m_2\cdot \dfrac{F}{m_1+m_2}\\\\\\\boxed{F_{12}~=~F\cdot \dfrac{m_2}{m_1+m_2}}$

Lembre-se que |F₁₂|=|F₂₁|.

Vamos agora atentar para a força de atrito.

Qual seu sentido, pra onde ela está apontando?

O atrito vai "tentar" impedir a movimentação de m₂ em relação a m₁, assim podemos ter três situações aqui:

(1) Quando F₂₁ tiver uma magnitude relativamente baixa, a força Peso será capaz de escorregar m₂ para baixo e a força de atrito tentará impedir este escorregamento, ou seja, estará paralela a superfície de m₁ apontando para cima.

(2) Quando F₂₁ for capaz de contrapor a força Peso, ou seja, quando as componentes de F₂₁ e do Peso paralelas à superfície de m₁ forem iguais, a força de atrito será nula.

(3) Quando F₂₁ tiver uma magnitude relativamente alta, a força Peso não será capaz de contrapor essa força e começará a escorregar para cima. A força de atrito tentará impedir que haja esse escorregamento para cima, ou seja, estará paralela a superfície de m₁ apontando para baixo.

Estamos interessados na máxima aceleração e, portanto, estamos observando a 3ª situação, até onde a força de atrito consegue impedir o escorregamento.

Dito isso, podemos agora, finalmente, desenharmos o diagrama de corpo livre (anexado) para facilitar a observação.

Como queremos que não haja movimento, ∑Fx=0 e ∑Fy=0, logo:

$\sum F_x~=~0\\\\-m\cdot a+N\cdot sen(\theta)+\mu\cdot N\cdot cos(\theta)~=~0\\\\\boxed{m\cdot a~=~N\cdot \left(sen(\theta)+\mu\cdot cos(\theta)\right)}\\\\\\\sum F_y~=~0\\\\N\cdot cos(\theta)-m\cdot g-\mu\cdot N\cdot sen(\theta)~=~0\\\\\boxed{m\cdot g~=~N\cdot \left(cos(\theta)-\mu\cdot sen(\theta)\right)}$

Efetuando o quociente entre "m.a" e "m.g":

$\dfrac{m\cdot a}{m\cdot g}~=~\dfrac{N\cdot \left(sen(\theta)+\mu\cdot cos(\theta)\right)}{N\cdot \left(cos(\theta)-\mu\cdot sen(\theta)\right)}\\\\\\\dfrac{a}{g}~=~\dfrac{sen(\theta)+\mu\cdot cos(\theta)}{cos(\theta)-\mu\cdot sen(\theta)}\\\\\\\boxed{a~=~g\cdot\dfrac{sen(\theta)+\mu\cdot cos(\theta)}{cos(\theta)-\mu\cdot sen(\theta)}}$

Como o ângulo 31º não tem seno ou cosseno racional, vale a pena tentarmos simplificar essa expressão, deixando em função de apenas uma trigonométrica.

$a~=~g\cdot\dfrac{sen(\theta)+\mu\cdot cos(\theta)}{cos(\theta)-\mu\cdot sen(\theta)}\\\\\\a~=~g\cdot \dfrac{cos(\theta)\cdot \left(tg(\theta)+\mu\right)}{cos(\theta)\cdot \left(1-\mu\cdot tg(\theta)\right)}\\\\\\\boxed{a~=~g\cdot \dfrac{tg(\theta)+\mu}{1-\mu\cdot tg(\theta}}$

Substituindo os valores fornecidos e, considerando tg(31º)=0,60, achamos que a = 15,40 m/s².

b)

$F~=~(m_1+m_2)\cdot a\\\\\\F~=~(11,26+6,62)\cdot 15,40\\\\\\F~=~17,88\cdot 15,40\\\\\\F~=~275,352\\\\\\\boxed{F~=~275,4~N}$

c)

Podemos utilizar a equação obtida com ΣFy=0:

$m\cdot g~=~N\cdot \left(cos(\theta)-\mu\cdot sen(\theta)\right)\\\\\\\boxed{N~=~\dfrac{m\cdot g}{cos(\theta)-\mu\cdot sen(\theta)}}$

Utilizando sen(θ)=0,515 e cos(θ)=0,857, chegamos a N≈108,2N.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$