Question

Um setor circular foi recortado de uma cartolina de modo que o arco AB desse setor mede 120° e tem comprimento igual a 10π/3 cm. Fazendo-se coincidir os pontos A e B, obtemos a superfície lateral de um cone reto de vértice O. Qual é o volume desse cone?

Answer 1

O volume desse cone é V = 250π√2/81 cm³.

O comprimento do setor corresponde ao comprimento da circunferência da base do cone.

O comprimento de uma circunferência é igual a C = 2πr. Como o comprimento do setor é 10π/3 e considerando r o raio da base do cone, temos que:

10π/3 = 2πr

10/3 = 2r

r = 5/3 cm.

O volume de um cone é igual à um terço do produto da área da base pela altura.

Para calcular a altura, precisamos calcular a geratriz do cone.

Sendo assim, temos que:

360 - 2πg

120 - 10π/3

360.10π/3 = 120.2πg

3600/3 = 240g

g = 5 cm.

A altura do cone é:

5² = (5/3)² + h²

25 = 25/9 + h²

h² = 200/9

h = 10√2/3.

Portanto, o volume do cone é:

V = (1/3).π.(5/3)².10√2/3

V = 250π√2/81 cm³.