Question

Um satélite de 20 kg está em uma órbita circular com um período de 2,4 h e um raio
de 8,0x10^6 m em torno de um planeta de massa desconhecida. Se o módulo da
aceleração gravitacional na superfície do planeta é 8,0 m/s2, qual é o raio do
planeta?

Answer 1

O período do satélite orbitando o planeta é dado pela equação:

T²/R³ = 4π²/G.M

onde T é o período, R é a distância do centro do planeta até o satélite, G é a constante gravitacional (6,673.10⁻¹¹ N.m²/kg²) e M é a massa do planeta. Como o queremos a massa do planeta, basta substituir os valores dados no enunciado:

T = 2,4 h = 8640 s

R = 8.10⁶ m

G = 6,673.10⁻¹¹ N.m²/kg²

8640²/(8.10⁶)³ = 4π²/6,673.10⁻¹¹.M

M = 4π².(8.10⁶)³/8640².6,673.10⁻¹¹

M = 4,06.10⁻⁵. (10¹⁸/10⁻¹¹)

M = 4,06.10²⁴ kg

Agora que temos a massa, utilizamos seu valor na equação da força gravitacional:

F = G.m.M/R²

onde F é a força de atração entre os dois corpos de massas m e M e r é o raio do planeta. Pela segunda lei de Newton, temos que a força que o planeta exerce sobre o satélite em sua superfície é dada por F = m.a, portanto, a aceleração gravitacional do planeta é F/m. Temos:

F/m = G.M/r²

a = G.M/r²

r² = G.M/a

r² = 6,673.10⁻¹¹.4,06.10²⁴/8

r² = 3,39.10¹³ = 33,9.10¹²

r = 5,822.10⁶ m

r = 5822 km