Question

Um satélite artificial gira em torno da terra a altura de 600 km(raio da terra = 6400km, período de rotação = 24h )qual deve ser a velocidade desse satélie para que um observador, colocado na terra, tenha a impressão de que ele se encontra parado?

Answer 1

Resposta: A velocidade de um satélite para que dê a impressão de que não está se movendo quando observado por um observador localizado da terra é igual a 1.832,60 km/h (aproximadamente)

Introdução: A velocidade angular é uma grandeza vetorial e é descrita como a taxa de variação do deslocamento angular que especifica a velocidade angular ou taxa de rotação de um objeto e o eixo em torno do qual o objeto gira. A quantidade de mudança no deslocamento angular da partícula em um determinado período de tempo é chamada de velocidade angular. A trajetória do vetor velocidade angular é vertical ao plano de rotação, em uma direção que geralmente é indicada pela regra da mão direita

Unidade SI e representação em física: A velocidade angular é medida em ângulo por unidade de tempo, por exemplo, radianos por segundo. A unidade SI de velocidade angular é expressa como rad/s, com radianos tendo um valor adimensional de unidade, então as unidades SI de velocidade angular são listadas como 1/s.

A velocidade angular é geralmente representada pelo símbolo ômega (ω).

Estamos interessados em encontrar a velocidade de um satélite artificial que gira em torno da Terra, queremos encontrar essa velocidade para que o satélite dê a impressão de que não está se movendo quando observado por um observador localizado na Terra, sabemos que a altura do satélite é igual a 600 km (quilômetros) e o raio da terra é igual a 6400 km e o período de rotação da terra é igual a 24 horas (1 dia).

Para que o satélite dê a impressão de que não está se movendo, ele deve ter a mesma velocidade de rotação da Terra. Para isso, lembremos que a velocidade angular é dada pela fórmula:

$\omega =\dfrac{2\pi}{T}$

Onde T representa o período de rotação, esta fórmula pode ser reescrita desta outra forma:

$\omega =\dfrac{v}{r}\quad \to\quad v=\omega r$

A primeira coisa que faremos é anotar todos os nossos dados que serão essenciais para a solução deste problema, anotando nossos dados:

$\begin{cases}\sf h_{sat\'elite}=600~km\\\sf r_{terra}=6400~km\\ \sf T_{terra}=24~h\\ \sf \omega _{terra}=\omega_{sat\'elite}=?\\ \sf r_{sat\'elite}=?\end{cases}$

Primeiro devemos saber o valor da velocidade angular da terra, quando determinamos a velocidade angular da terra também determinamos a velocidade angular do satélite artificial então lembre-se que ambas as velocidades devem ser iguais, para determinar a velocidade angular do terra, vamos usar a primeira fórmula que explicamos. Substituindo o período da terra, que é igual a 24 horas, em nossa fórmula obtemos o valor de:

$\omega_{terra} =\dfrac{2\pi}{24~h}\\\\ \omega _{terra}=\dfrac{\pi}{12~h}$

Podemos ver que a velocidade angular da Terra é igual a π/12 h, então a velocidade angular do satélite também é igual a π/12 h, portanto, conhecendo a velocidade angular do satélite, passamos a encontrar a velocidade do satélite satélite, para encontrar a velocidade do satélite, usaremos a segunda fórmula para calcular a velocidade angular.

Mas espere, falta uma informação essencial e esse é o raio do satélite, mas lembremos que o raio da Terra é igual a 6400 km e a altura do satélite é igual a 600 km, pois o satélite orbita em torno a terra seu raio é igual à altura do satélite mais o raio da terra, então levando isso em conta podemos ver que a velocidade do satélite é dada pela expressão:

$v=\dfrac{\pi}{12~h} \cdot \left(6400~km+600~km\right)\\\\ v=\dfrac{7000~km\cdot\pi}{12~h}\\\\ v=583{,}3\overline{3}~km/h\cdot \pi\\\\ v\approx1.832,595~km/h\\\\ \boxed{v\cong 1.832,60~km/h}$