Question

Um salão tem 8 portas. O número de maneiras de.se manter o salão aberto com pelo menos 3 portas abertas é:
(A). 219
(B) 220
(C) 221
(D) 222

Answer 1

Sem restrições, a quantidade de modos de deixar as portas abertas ou fechadas é $2^8 = 256$, pois você tem 2 opções para cada uma das 8 portas. Destas 256 possibilidades, vamos descartar as que tem 0, 1 ou 2 portas abertas. Evidentemente só há 1 caso em que há 0 portas abertas e 8 casos em que há 1 porta aberta. Para calcular os casos com 2 portas fechadas basta permutar as 6 portas abertas com as 2 fechadas (permutação com repetição):
$P_8^{6,2} = \cfrac{8!}{6!2!} = \cfrac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot 2}= 4 \cdot 7 = 28$

Subtraíndo as circunstâncias mencionadas do total:
$256 - (1 + 8 + 28)\\= 256 - 37\\= 219$

a) 219