Question

Um robô se encontra no ponto P(8, 10) de um sistema de eixos coordenados e quer chegar à origem(0, 0). Sabe-se que ele foi programado para dar um passo de uma unidade de medida de comprimento por vez, para a esquerda ou para baixo. Quantos caminhos distintos podem conduzi-lo à origem?

Answer 1

Observando o gráfico, é possível notar que o robô precisa de 18 passos para chegar ao seu destino ( independente da trajetória ).

Desses 18 passos, 10 são para baixo
( B ) e 8 para a esquerda ( E )
( independente da trajetória ).
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*Obs: Experimente testar alguns diferentes caminhos possíveis para ver se realmente são sempre 10 para baixo e 8 para a esquerda. Esse tipo de prática é boa para fixar o raciocínio desses tipos de questões e evita o "decoreba" das resoluções.
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Pensando nisso como um anagrama, as letras seriam:

BBBBBBBBBBEEEEEEEE

Essa será então uma permutação com repetição, da seguinte forma:

$P_{18}^{10{,} \: 8}$

18 permutações com 10 e 8 repetições.

A conta é feita da seguinte assim:

$\Large{{ 18! \over 10! \times 8! }}$

Fazendo as devidas simplificações, o resultado final é $\boxed{ 43758}$ formas.