Question

Um retângulo tem 24m dr perímetro e 32m ( elevado a 2) de área. Quais sao as dimensões desse retângulo?

Answer 1

Olá

$2x + 2y = 24m$

$xy = 32m$

Usamos o fator comum

$2(x + y) = 24$

Mudamos a posição do fator externo, alterando sua operação

$x + y = \dfrac{24}{2}$

$x + y = 12$

Agora, isolamos uma das incógnitas

$x = 12 - y$

Logo, substituímos os valores

$(12 - y)y = 32$

$12y - y^{2} - 32 = 0$

Reorganizamos os termos

$-y^{2} + 12y - 32 = 0$

Multiplicamos ambos os termos por (-1)

$y^{2} - 12y + 32 = 0$

Esta é uma equação do 2º grau, usamos $ax^{2} + bx + c = 0$ para descobrir os coeficientes

a = 1, b = -12, c = 32

Usamos delta

$\Delta = b^{2} - 4ac$

$\Delta = (-12)^{2} - [4(1)(32)]$

$\Delta = 144 - 128$

$\Delta = 16$

Agora que sabemos que delta é positivo, maior que zero, usamos a fórmula de bháskara

$y = \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

Substituímos os valores

$y = \dfrac{-(-12)\pm\sqrt{16}}{2(1)}$

$y = \dfrac{12\pm4}{2}$

Os dois valores de y são

$y' = \dfrac{12 + 4}{2} = \dfrac{16}{2} = 8$

$y" = \dfrac{12 - 4}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$

Logo, substituímos os valores de y nas equações

$x + y = 12$

$x + 8 = 12$

$x = 12 - 8$

$x = 4$

Logo

$xy = 32$

$(4)(8) = 32$

$32 = 32$

Na outra raíz temos

$x + y = 12$

$x + 4 = 12$

$x = 12 - 4$

$x = 8$

Logo, substituímos

$xy = 32$

$(8)(4) = 32$

$32 = 32$

Já que as raízes influenciam nos valores, existem duas respostas possíveis e ambas corretas

Resposta:
$\boxed{[S = [x, y](8, 4)//[x, y](4, 8)][S \in\mathbb{R}]}$