Question

Um retangulo tem 180cm2 de area. aumentando 5cm do seu comprimentobe diminuindo 3cm da sua largura obtemos um segundo retangulo cujo area e 180cm2 tbm.qual e a soma dos lados do primeiro retangulo ?

Answer 1

Comprimento: x
Largura: y

Retângulo antes:

$x\cdot y=A\\x\cdot y=180$

Retângulo depois:

$x'\cdot y'=A'\\(x+5)\cdot(y-3)=180\\xy-3x+5y-15=180\\180-3x+5y-15=180\\-3x+5y-15=0\\-3x+5y=15$

Sistema:

$\begin{cases}-3x+5y=15\\xy=180\end{cases}$

Isolando 3x na primeira equação:

$-3x+5y=15\\5y=15+3x\\5y-15=3x$

Manipulando a segunda equação:

$xy=180\\3\cdot xy=3\cdot180\\3xy=540\\3x\cdot y=540\\(5y-15)\cdot y=540\\5y^{2}-15y=540\\5y^{2}-15y-540=0~~~~(\div5)\\y^{2}-3y-108=0\\\\\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-108)\\\Delta=9+432\\\Delta=441\\\\y=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{441}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm21}{2}$

Achando as raízes:

$y'=\dfrac{3+21}{2}=\dfrac{24}{2}=12\\\\\\y'=\dfrac{3-21}{2}=\dfrac{-18}{2}=-9$

Como y é a medida da largura do retângulo, não pode ser negativo.

$\boxed{\boxed{y=12~cm}}$

Achando x:

$xy=180\\x\cdot12=180\\x=180/12\\\\\boxed{\boxed{x=15~cm}}$

Achando o perímetro do primeiro retângulo:

$2P=x+x+y+y\\2P=2(x+y)\\2P=2(15+12)\\2P=2(27)\\\\\boxed{\boxed{2P=54~cm}}$