Question

Um retângulo possui um perímetro de 50cm e uma área de 150cm². Quais são as dimensões desse retângulo? galera, expliquem com clareza e recuso respostas não detalhadas.

Answer 1

Olá, vamos lá temos em mente que um retângulo possui 2 pares de lados iguais. Por exemplo se um dos lados do retângulo é 6, então podemos afirmar que o lado oposto a esse também será 6, dito isso podemos escrever a fórmula do perímetro do retângulo como:

$Perimetro = 2x +2y$

Onde x é um lado e y outro lado distinto, e os termos estão multiplicados por 2, por que há 2 lados iguais (como dito logo no início), e agora a área do retângulo é dada pela multiplicação dos dois lados distintos, isto é, x vezes y:

$Area = x*y$

Sabemos o perímetro e a área, podemos transformar isso em um sistema, mostrando as duas equações:

$\left \{ {{2x + 2y = 50} \atop {x*y = 150}} \right.$

Vamos utilizar o método da substituição para este caso, pegarei a primeira equação isolarei o x:

$2x + 2y = 50\\\\2x = 50 -2y\\\\x = \frac{50 -2y}{2}$

Vamos pegar agora esse valor que achamos pra x, e substituir na segunda equação:

$x*y = 150\\\\(\frac{50 -2y}{2}) * y = 150\\\\\frac{50y-2y^2}{2} = 150\\\\50y - 2y^2 = 150*2\\\\-2y^2 + 50y = 300\\\\-2y^2 + 50y -300 = 0$

Uh, chegamos em uma equação de segundo grau, vamos ter que chamar nosso amigo Bhaskara para ajudar, mas antes de aplicar a fórmula, irei simplificar a equação dividindo ela por 2 e multiplicando por menos 1, pra deixar ela prontinha e sem complicações:

$-2y^2 + 50y -300 = 0 \ \ : 2 \ \ \ Dividindo \ por \ 2\\\\-y^2 + 25y - 150 = 0 \ \ x1 \ \ \ Multiplicando \ por \ -1\\\\y^2 - 25y +150 = 0$

Agora está pronta para aplicar Bhaskara:

$\Delta = (-25)^2 - 4*1*150\\\\\Delta = 625-600\\\\\Delta = 25$

$y' = \frac{-(-25) + \sqrt{25} }{2}\\ \\y' = \frac{ 25 + 5 }{2}\\\\y' = \frac{30 }{2}\\\\ y ' = 15$

$-------- \\\\y'' =  \frac{-(-25) - \sqrt{25} }{2}\\ \\y' = \frac{ 25 - 5 }{2}\\\\y' = \frac{20 }{2}\\\\ y ' = 10$

Então, analisando as raízes obtidas as dimensões do retângulo são 10 cm e 15 cm, como é um retângulo, pouco importa se x é 10 e y é 15, ou vice-versa, ambas satisfarão a questão! Bons estudos ! Pediu bem detalhado, espero ter sido o suficiente, qualquer pergunta comente :)