Question

Um retângulo no plano cartesiano possui dois vértices sobre o eixo das abscissas e outros dois vértices sobre a parábola de equação y = 4 – x², com y > 0. Qual é o perímetro máximo desse retângulo?

Answer 1

Considere um retângulo genérico cuja base é o segmento que parte do ponto  (– x, 0)  e vai até o ponto  (x, 0),  com  0 ≤ x ≤ 2.

Dessa forma, o comprimento da base do retângulo é  b = 2x.

Estes pontos determinam a altura do retângulo que é o valor que a função

     f(x) = 4 – x²

assume para os pontos das extremidades da base do retângulo, isto é, a altura do retângulo é

     h = f(x) = f(– x)          pois a função  f  é par;

     h = 4 – x²


O perímetro é dado por

     p(x) = b + h + b + h

     p(x) = 2 · (b + h)

     p(x) = 2 · (2x + 4 – x²)

     p(x) = 4x + 8 – 2x²

     p(x) = – 2x² + 4x + 8   <———   função que fornece o perímetro.


Como o coeficiente quadrático de  p(x)  é negativo, esta função assume valor máximo em seu vértice.

     p(x) = – 2x² + 4x + 8    ———>    A = – 2,  B = 4,  C = 8


     Δ = B² – 4AC

     Δ = 4² – 4 · (– 2) · 8

     Δ = 16 + 64

     Δ = 80


O valor máximo de  p(x)  é a coordenada  y  do vértice:
 
                         Δ
     pₘₐₓ  =  –  ———
                        4a

                           80
     pₘₐₓ  =  –  —————
                        4 · (– 2)

                        80
     pₘₐₓ  =  –  ———
                        – 8

     pₘₐₓ = 10   <———   esta é a resposta.


e você obtém esse valor para  x = 1  (x  do vértice de  p(x)).


Resposta:  o perímetro máximo do retângulo é  10.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

respondi da seguinte maneira: siga o anexo