Matemática, perguntado por Sammydag3448, 5 meses atrás

Um retângulo está inscrito com sua base no eixo x e seus cantos superiores na parábola y=4−x2. Quais são as dimensões desse retângulo com a maior área possível?.

Soluções para a tarefa

Respondido por juniorrocha96

Dimensões para a maior área possível:

Altura: 8/3

Altura: 8/3Largura: 4√3/3

Máximos e mínimos de uma função:

Temos que, a área de um retângulo é:

A=x*y

Sendo:

x=base;

y=altura

Temos também a equação dada y=4-x^2

Isolando uma das variáveis na equação da parábola e substituindo na equação da área:

A=x*(4-x^2)

Agora, para maximizar a área do retângulo, ou seja, encontrar os valores de x e y que tornam a área a maior possível, podemos derivar a área em relação a x igualando a zero, pois assim, teremos um ponto sem variações na função, um máximo ou mínimo. Como sabemos pelo formato da função que ela não terá mínimos, então, o resultado será um máximo

$\frac{dA}{dx}=\frac{d(x.(4-x^2))}{dx}=0\\\\-3x^2+4=0\\\\3x^2=4\\\\x^2=4/3\\\\x= \pm(\sqrt{\frac{4}{3}} )= \pm \frac{2\sqrt{3} }{3}$

Como a parábola dada é simétrica em relação ao eixo y e centrada em x=0, devemos somar as distâncias de x=0 até x=+2√3/3 e de x=0 até -2√3/3, que dá 2*(2√3/3)=4√3/3

Aplicando x=2√3/3 na equação da parábola para saber a altura do retângulo:

$y=4-(2(\frac{\sqrt{3}}{3}))^2=4-\frac{4*3}{9}=4-\frac{12}{9}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$