Question

Um retângulo de 8cm de largura e 15cm de comprimento foi dividido em 4 regiões:  cujas áreas formam nesta ordem, uma progressão geométrica crescente. Se a soma das duas maiores áreas totaliza 96cm , qual é a diferença entre as áreas das duas menores regiões?

Answer 1

Área do retângulo: 8 x 15 = 120 cm²

$S_{4}= a_{1} +a_{2} +a_{3} +a_{4} =120$

$a_{3} +a_{4} =96$ ⇒ $a_{1} +a_{2} +96 =120$ ⇒ $a_{1} +a_{2} =24$

$a_{2} =a_{1} .q$ ⇒ $a_{1} +a_{1} .q=24$ ⇒ $a_{1}.(1 +q)=24$ ⇒ $1 +q= \frac{24}{a_{1}}$

$a_{3} +a_{4} =96$ ⇒ $a_{1}. q^{2} +a_{1}. q^{3} =96$ ⇒ $a_{1}. q^{2}.(1 +q) =96$ ⇒ $1 +q= \frac{96}{a_{1}. q^{2} }$

$\frac{96}{a_{1}. q^{2} }=\frac{24}{a_{1}}$

$\frac{4}{q^{2} }=\frac{1}{1}$ ⇒ $q^{2} =4$ ⇒ $q=2$ ⇒ apenas o valor positivo, por se tratar de uma PG crescente (VIDE enunciado).

$1 +q= \frac{24}{a_{1}}$ ⇒ $a_{1}= \frac{24}{1 +q}= \frac{24}{1 +2}= \frac{24}{3} =8$

$a_{2}-a_{1}=a_{1}.q-a_{1}$$=a_{1}.q-a_{1}=8.2-2=16-2=14$