Question

Um retângulo, cuja base é de 16 cm, sofre alteração em suas medidas de forma que a cada redução de x cm em sua base, sendo x maior ou igual a 0, obtém-se um novo retângulo de área dada por A(x) = -x² + 8x + 128.
a) Determine a e b em h(x) = ax + b, onde h(x) denota a altura desses retângulos.
b)Mostre que, dentre esses retângulos o que tem área máxima é um quadrado.

Answer 1

BASE
$b(x) = 16-x$

ALTURA h(x)

ÁREA

$A(x) = b(x)\cdot h(x)=(16-x) h(x)\\ \\ -x^2+8x+128=(16-x) h(x) \\ \\ \boxed{h(x)=x+8}$

a) entonces a=1 y b=8

b) Aplicación de las derivadas
$\displaystyle \frac{dA}{dx}=-2x+8\\ \\ \text{Puntos cr\'iticos: }\\ \\ -2x+8=0\iff x=4\\ \\ \text{Criterio de la segunda derivada: }\\ \\ \frac{d^2A}{dx^2}=-2\ \textless \ 0\text{ ent\~ao }x=4 \text{ \'e um m\'aximo}\\ \\ \text{Dimensiones del rectangulo: }\\ \\ h(4)=12\\ b(4)=12\\ \\ \therefore \boxed{\text{ \\'e um quadrado}}$

Answer 2

a)A=$(16-x).(ax+b)=16ax+16b-ax^{2}- bx=- ax^{2}+16ax-bx+16b=$ $- ax^{2}+x (16a - b)+16b=- x^{2} +8x+128--\ \textgreater \ a=1;$ $x (16a - b)=8x--\ \textgreater \ 16.1-b=8--\ \textgreater \ 16-8=b--\ \textgreater \ b=8;$ $b) P_{Max} = - \frac{b}{2a} = - \frac{8}{2. (-1)} =4;$$b) A_{Max} = (16-x). (x+8)=(16-4). (12+4)=12.12=144 cm^{2} ;$ Logo os lados medirão 12 cm cada,ou seja,um quadrado.