Question

Um retângulo ABCD tem 20 cm de perímetro. Se AB = x, determine a expressão da medida BC = y, em centímetro, e da área A do retângulo, em centímetro quadrado, em função de x. Em seguida, determine a área máxima
do retângulo.​

Answer 1

Resposta:

$y = (10 - x)cm\\A = (10x - x^{2}) cm^{2}\\A = 25cm^{2}$

Explicação passo a passo:

Por definição, um retângulo tem cada par de lados paralelos com o mesmo comprimento. Assim, se AB = x e BC = y, entao CD = x e AD = y. Logo, o perímetro pode ser representado pela seguinte equação:

$2x+2y=20cm$

Reorganizando como uma função de x, temos:

$2ycm = 20cm - 2xcm\\ycm = \frac{(20 - 2x)cm}{2}\\ \\y = (10 - x)cm$

A área A do retângulo e dada pelo produto dos seus lados:

$A = x*y\\A = xcm*(10 - x)cm\\ \\A = (10x - x^{2}) cm^{2}$

A área máxima de um retângulo em função de um dos lados, atingida quando a parábola dessa função está virada para baixo (porque nosso termo contendo x² é negativo), se dá no ponto máximo dessa parábola, seu vértice. A formula para encontrar o valor de x no vértice é $x_{v} = -\frac{b}{2a}$, onde "a" é o coeficiente de x² na equação da parábola e "b" e o coeficiente de x. Aplicando essa fórmula, temos:

$x_{v} = -\frac{10}{-2}\\x_{v} = 5$

Agora, basta substituir esse valor de x na formula da área que encontramos anteriormente:

$A = (10*5 - 5^{2})cm^{2}\\A = (50 - 25)cm^{2}\\A = 25cm^{2}$