Question

Um reservatório de volume fixo que contém 50 litros de água pura (V = 50 L) passa a receber a partir de um momento uma vazão constante de solução salina (água + sal) de 5 litros por segundo (a = 5 L/s) com concentração de 0,5 kg de sal por litro de solução (c = 0,5 kg/L) e à medida que a solução entra no tanque ela é homogeneizada através de agitação. Apesar do acréscimo de solução no tanque, ele não transborda porque há uma vazão de saída à razão constante de 5 litros por segundo (a = 5 L/s), que retira do tanque a mistura formada entre água pura e solução salina.


Sobre o problema apresentado responda:


a) Qual a equação diferencial que representa a quantidade de sal (x = quantidade de sal em kg) neste processo? Apresente o passo a passo do desenvolvimento da equação.


b) A quantidade de sal no tanque é função de qual(is) variável(is)?


c) Determine a solução geral e a solução particular do problema descrito.


d) Em que momento a massa de sal no tanque será de 5 kg?


e) Qual a massa de sal no reservatório quando se passar muito tempo (t →∞)?

Preciso da explicação passo a passo até sexta

Answer 1

Poxa colega, faz tempo que eu vi essa matéria ... Talvez não esteja correto, já que essa é minha pior matéria rsrsrs.

Vamos lá né rsrsrs.

Bem, de uma coisa eu sei: A derivada é a taxa de variação. E é exatamente isso que está ocorrendo no seu problema, a quantidade de sal que entra no reservatório está variando conforme o tempo, precisamos encontrar uma equação que nos de essa quantidade.

Mas antes você deve entender que há uma grande diferença em taxa de variação e quantidade momentânea. A equação diferencial vai nos dar a Taxa de variação , ou seja, quão rápido alguma coisa está variando no instante "t". A  taxa de variação é uma razão, algo que varia em relação ao tempo, nesse caso, por exemplo, a derivada vai dar qual a variação da quantidade de sal no instante "t". Já a quantidade momentânea vai dar a quantidade de sal naquele momento(e somente naquele momento).

Não sei se ficou confuso rsrsrs, mas espero que tenha entendido :)

Dessa forma, a variação da quantidade de sal que entra no reservatório será dado pela diferença da variação da quantidade que entra de sal menos a quantidade de sal que sai.

A cada segundo 5 L de solução salina entram no reservatório e cada litro tem 0,5 kg de sal, ou seja, a cada segundo entram 5*0,5 kg de sal.

Entram 2,5kg de sal a cada segundo no reservatório.

Quantidade de sal que entra no reservatório = 2,5 kg/s

Toda vez que entra sal, essa quantidade é homogeneizada, ou seja, a concentração de sal no reservatório é a quantidade de sal que está nele no momento divido pelo seu volume total de 50 L.

Concentração no reservatório = Qs/50

Onde Qs é a quantidade de sal no reservatório no tempo "t".

A quantidade de sal que sai do reservatório vai depende de qual a concentração de sal no qual o reservatório está no momento.

Assim, a quantidade que sai é a concentração de sal do reservatório multiplicado pela vazão de saída.

A cada segundo saem 5 L do reservatório cada litro tem Qs/50 kg de Sal. Logo a quantidade de sal que sai do reservatório é 5*Qs/50, ou seja, Qs/10

Quantidade de sal que sai do reservatório = (Qs/10)/s

Assim a Taxa de variação da quantidade de sal no reservatório tem que ser a quantidade que entra de sal a cada segundo menos a quantidade de sal que sai a cada segundo !

dQs/dt = taxa de entrada de sal - taxa de saída

dQs/dt = 2,5 - Qs/10

$\frac{dQs}{dt} = 2,5 - \frac{Qs}{10}$

Logo a equação diferencial que representa a quantidade de sal no reservatório é :

Qs' = 2,5 - Qs/10

Lembrando que Qs' é a primeira derivada da quantidade de sal em relação ao tempo.

Isolando o Qs na equação temos:

-Qs = 10*Qs' - 25

Qs = 25 - 10*Qs'

É importante lembrar também que no momento inicial não havia sal na solução, portanto Qs(0) = 0

a.)

Bem, essa é a nossa equação diferencial de valor inicial :

Qs(t) = 25 - 10*Qs'

Qs(0) = 0

b.)

Depende somente do tempo !

Bem agora devemos resolver essa EDO :

temos :

dQs/dt = 2,5 - Qs/10

Basta resolver agora usando fator de integração

Qs' +Qs/10 = 2.5

u(t) = e^( integral[g(t)dt] )

u(t) = e^(10/t)

u(t)*Qs(t) = integral[u(t)*2.5dt]

e^(10/t)*Qs(t) = 2.5*integral[e^(10/t)dt]

...