Question

um reservatório com a forma de um paralelepípedo reto retângulo está com 75% de sua capacidade ocupada por um líquido que deverá ser transferido para outro reservatório, cuja forma é de um tetraedro regular.
Esse tetraedro foi especialmente construído para receber todo o líquido contido no paralelepípedo, de forma que ele (o tetraedo) fiquei completamente cheio.

Para esse procedimento são conhecidas algumas medidas:
I. A área da base do paralelepípedo é igual a 150 m².
II. A diferença entre o comprimento e a largura da base do paralelepípedo é de 5m.
III. A maior distância entre os dois vértices do paralelepípedo é 5√14m.

De acordo com essas informações, determine:

a) O volume de água no paralelepípedo, em litros;

b) A altura da água no paralelepípedo;

c) A altura do tetraedro.

Answer 1

a) Teremos 2.812.500 L de água;

b) A altura de água corresponde a 18,75 m.

c) A altura do tetraedro será de 23,51 m.

Vamos chamar de x o comprimento e y a largura da base. Assim, podemos escrever que:

x = 5 + y

Assim, podemos escrever que:

x . y = 150

(5 + y) . y = 150

5y + y² = 150

y² + 5y - 150 = 0

Resolvendo essa equação, chegamos a y' = -15 e y'' = 10, sendo que somente a segunda solução é possível. Logo, temos que x = 15 m e y = 10 m.

A maior distância corresponde a diagonal interna do paralelepípedo, que é dada por:

diagonal² = h² + (√325)²

(5√14)² = h² + 325

350 = h² + 325

h = 25 m

O volume do paralelepípedo é dado pela área da sua base multiplicado a sua altura. Nesse caso, temos a área é de 150 m² e ele tem 75% de sua capacidade ocupada, ou seja:

V = 150 . 25

V = 0,75.(150.25)

V = 2.812,5 m³ = 2.812.500 L de água

Assim, a altura de água corresponde a 0,75 x 25 = 18,75 m.

O volume de um tetraedro é dado por:

V = a²√2 / 12

Como o volume de água deve ocupar ele completamente, temos que:

2.812,5 = a³√2 / 12

a = 28,8 m

Assim, temos que sua altura será de:

h = a√6 / 3

h = 23,51 m

Espero ter ajudado!