Um relógio analógico de parede, com 40 cm de diâmetro externo, está marcando 1 hora e 58 minutos. Qual é a medida do ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, nesse instante?
a) 71°
b) 72°
c) 73°
d) 74°
e) 75°
Soluções para a tarefa
Resposta:
Alternativa A!
Explicação passo-a-passo:
dados:
diâmetro = 40 cm
ângulo agudo marcado pelos ponteiros às 1h 58min = ?
- Por se tratar de uma forma circular, devemos trabalhar com arcos. E a unidade de arcos é dado em radianos.
- Devemos saber que 360° equivale à 2π radianos.
- Além disso, iremos trabalhar com as escalas do relógio e devemos saber que 1 volta completa (360° ou 2π radianos) equivale a: 60 minutos representado pelo ponteiro grande, e 12 horas representado pelo ponteiro pequeno.
Cada hora do relógio equivale a 30º, ou π/6 radianos. Ou seja:
360° ÷ 12 horas = 30° por hora.
Em radianos:
360° = 2π radianos
30° = x
360 × x = 2π × 30
x = 60π/360
x= π/6
Logo, 30° por hora equivale à π/6.
O ângulo entre dois números consecutivos (neste caso, 12 e 1) é π/6 rad, pois há 1 hora envolvida. Conforme calculado logo acima.
Vamos chamar o ângulo entre o ponteiro dos minutos e o 12 de β e o ângulo entre o número 1 e o ponteiro das horas de α. Sendo o número 12, 0°, então o ângulo formado pelo relógio é β+π/6+α. Com isto, temos:
O ponteiro dos minutos (em relação à volta completa), percorre o arco β em 2 minutos, assim:
60 min -------- 2πrad
2 min ---------- β
β = 4π/60 = π/15 rad
Já o ponteiro das horas (em relação à 1/12 de volta ou 30° ou π/6), percorre o arco α em 58 minutos:
60 min -------- π/6 rad
58 min -------- α
α × 60 = π/6 × 58
α = 58*π/360 = 29π/180 rad
Desta forma, 0 ângulo formado pelos ponteiros é:
β+π/6+α
π/15 + π/6 + 29π/180 = (12π + 30π + 29π)/180 = 71π/180
Transformando em graus:
360° = 2π
x = 71π/180
2π × x = 360 × 71π/180
x = (25560π/180)/2π
x = 142π/2π
x = 71°
Alternativa A!
Bons estudos e até a próxima!
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