Question

Um recipiente repleto de óleo tem a forma de um cilindro circular reto com diâmetro interno de 6cm e altura interna de 15 cm. Inclinando-o 60° em relação a um plano horizontal, derramou-se parte do óleo , conforme a figura
O volume do óleo derramado é:

9pi√3
---------- cL
10

como chega nesse resultado?

Answer 1

Anexei uma imagem para facilitar o entendimento.

Vemos que quando o cilindro esta deitado, temos a formação de um novo cilindro dentro, um cilindro obliquo de base eliptica. Para descobrirmos o volume deste cilindro de base eliptica, temos que descobrir os valores da imagem, que estão marcados.

Pela questão já sabemos alguns valores, como B que é o diametro e vale 6cm e L que é o lado equivalente a altura que vale 15cm.

Vemos pela figura que precisamos achar o valor de H, A e D. Primeiramente H, pois ele é a hipotenusa do triangulo retangulo de cima, e temos o lado oposto de 60º que é B, então usando senos:

sen(60) = B/H

√3/2 = 6/H

H = 12/√3 = 4√3

Agora temos o valor de H, podemos usar o cosseno de 60º para encontrarmos A:

cos(60) = A/H

1/2 = A/4√3

A = 2√3

Agora temos também o valor de A.

Usando o triangulo retangulo abaixo deste, podemos usar o seno para encontrar D, pois neste caso L-A é a hipotenusa:

sen(60) = D/L-A

√3/2 = D/(15-2√3)

2D = 15√3 - 6

D = 15/2.√3 - 3

Agora temos todos os valores marcados, vamos para a analise:

Todo volume de cilindro é sem excessão a área da base vezes a altura. Pela figura vemos que a altura do cilindro obliquo é D, e a área da base é um cilindro, e a área do cilindro é dado por:

A = π.a.b

Onde a e b são os raio menor e maior da elipse. O raio menor neste caso é a metade do diametro do cilindro que é 6cm, ou seja, a = 3cm. O raio maior neste caso é metade do diametro maior, que neste caso é H, ou seja, b = 2√3 cm. Assim a área da elipse é:

A = π.3.2.√3

A = 6π√3 cm²

Multiplicando esta área pela altura D:

V = (15/2.√3 - 3).6π√3

V = 135π - 18π√3

Então este é o volume do cilindro obliquo.

Vamos agora encontrar o volume do cilindro original, em pe´:

V = π.r².L

V = π.9.15

V = 135π

Então agora temos o volume do cilindro original e o volume do cilindro obliquo que ficou depois, se pegarmos o volume inicial menos o  volume final ficaremos com o volume dos dois pedaços identicos do tanto de volume que caiu, um de baixo e outro de cima:

Vi - Vf

135π - 135π + 18π√3

ΔV = 18π√3 cm³

Ou seja, este valor da diferença é a soma dos pedaços de volume de cima e de baixo, porém como nós só queremos um pedaço, que é o que caiu do cilindro, o pedaço de cima, vamos dividir este valor por 2:

ΔV = 9π√3 cm³

Então este é o valor que caiu do cilindro em cm³, porém a questão quer a resposta em cL, e temos a seguinte relação entre cm³ e cL:

1 cm³ = 0,1 cL

Então basta dividirmos o nosso resultado por 10:

ΔV = 9π√3 cm³ = ΔV = (9/10)π√3 cL