Question

Um recipiente contém 5 kg de água a 0°C misturada a uma massa desconhecida de gelo em equilíbrio térmico. O equivalente em água do recipiente é 100 g. No tempo t = 0, um aquecedor é ligado e fornece calor a uma taxa constante para o recipiente. A temperatura da mistura é medida várias vezes e o resultado é mostrado na figura abaixo. Desprezando qualquer perda de calor da mistura–recipiente para o ambiente, calcule a massa inicial de gelo.
Dados:
calor latente de fusão do gelo é f = 80 -1
calor específico da água = 1 -1°-1

Answer 1

Através da análise do gráfico da figura e cálculos com os dados fornecidos e, desprezando qualquer perda de calor da mistura - recipiente para o ambiente, podemos afirmar que a massa inicial de gelo é aproximadamente 729 g.

O problema trata do fornecimento de calor a uma taxa constante utilizado para fundir uma determinada massa de gelo, que está misturada com água a 0 °C e posterior aquecimento do conjunto água (no estado líquido) e recipiente. Todo processo ocorre como o fornecimento de calor a uma taxa constante. Deseja-se conhecer a massa inicial de gelo.

Este é um problema que envolve vários conhecimentos da física, a saber:

• análise de gráfico de temperatura em função do tempo;

• relação de potência - energia;

• mudança de fase e calor latente;

• aquecimento e calor sensível;

e para resolvê-lo utilizaremos algumas equações relativas aos temas citados. As equações da calorimetria:

• para o cálculo do aquecimento (calor sensível) de uma substância, no caso a água

                                  $\boxed{\largeQ_S = m_a \cdot c_a \cdot \Delta T } \ \sf (I)$

• para o cálculo do aquecimento (calor sensível) de um objeto (recipiente)

                                    $\boxed{\largeQ_S = C_R \cdot \Delta T } \ \sf (II)$

• para o cálculo do calor usado na mudança de fase (estado), no caso a fusão do gelo.

                                 $\boxed{\largeQ_L = m_g \cdot L} \sf (III)$

e a definição de potência (taxa de fornecimento de energia):

                                    $\boxed{\largeP = \dfrac{\Delta E}{\Delta t} } \ \sf (IV)$

Uma análise do gráfico nos permite concluir que:

• De 0 a 50 min -> ocorre a fusão do gelo pois a temperatura da mistura permanece constante em 0 °C.

• De 50 a 60 min -> ocorre aquecimento do conjunto água - recipiente ( a temperatura varia de 0 °C a 2 °C).

Vamos resolver o problema em quatro etapas:

1- No intervalo de 50 min a 60 min,  encontrar a energia (calor) usada para aquecer a água e o recipiente.

2- Utilizar o calor obtido no intervalo de 50 min  a 60 min para encontrar a taxa de fornecimento de calor (P).

2- utilizar a taxa encontrada para encontrar o a energia utilizada na fusão do gelo (de 0 a 50 min)

3- Com a energia calculada na segunda parte, encontrar a massa inicial de gelo.

- Etapa 1 -

Dados:

• $\largem_g = m_g$  (Existe uma massa de gelo desconhecida que, nesse intervalo de tempo já é água no estado líquido.)

• $\largem_a = \sf 5{,}0 \: kg = 5.000 \: g$  (Massa inicial de água no recipiente.)

• $\largeC_R = \sf 100 \: cal / ^\circ C$  (Capacidade térmica do recipiente. Foi informado que o equivalente em água é 100 g.)

• $\largec_a = \sf 1 \: cal / g^\circ C$   (Calor específico da água.)

• $\large\Delta T = \sf 2 \: ^\circ C - 0 \: ^\circ C = 2 \: ^\circ C$   (Variação de temperatura do conjunto no intervalo de tempo considerado.

⇒Cálculo da energia para aquecer o conjunto água - recipiente:

                  $\largeQ_S = m_a \cdot c_a \cdot \Delta T + m_g \cdot c_a \cdot \Delta T+ C_R \cdot \Delta T$

                 $\largeQ_S = 5.000 \cdot 1 \cdot 2 + m_g \cdot 1 \cdot 2 + 100 \cdot 2$

                $\boxed{\largeQ_S = (10.200 + 2 \cdot m_g) \: \sf cal }$

Essa energia foi entregue a uma taxa (potência) constante.

- Etapa 2 -

Dados:

• $\large\Delta t = \sf 60 \: min - 50 \: min = 10 \: min = 600 \: s$ (Intervalo de tempo no qual o conjunto água - recipiente foi aquecido de 0 °C  a 2 °C)

⇒ Calculo da taxa:

                      $\largeP = \dfrac{\Delta E}{\Delta t} = \dfrac{Q_S}{\Delta t}$

                    $\large\text{ P = \dfrac{(10.200 + 2 \cdot m_g) \sf{ \: cal}}{600 \sf{ \: s}} }$

                    $\boxed{\large\text{ P = \left(17+ \dfrac{m_g}{300} \right)\dfrac{\sf{ \: cal}}{ \sf{ \: s}} }}$

- Etapa 3 -

Utilizando-se a potência obtida acima, podemos calcular a quantidade de calor (energia) que foi fornecida para a fusão do gelo:

                  $\largeQ_L = P \cdot \Delta t$

                 $\largeQ_L = \left(17+ \dfrac{m_g}{300} \right) \cdot 3.000 = (51.000+10 \cdot m_g) \sf \: cal$

- Etapa 4 -

Dado:

• $\largeL = \sf 80 \: cal / g$ (Calor latente e fusão o gelo)

Com o calor encontrado, utilizado para a fusão do gelo, e o calor latente de fusão dado, calculamos

                    $\largeQ_L = m_g \cdot L$

                $\large51.000+10 \cdot m_g = m_g \cdot 80$

                 $\large51.000 = 70 \cdot m_g$

                     $\largem_g = \dfrac{51.000}{70}$

                      $\boxed{\boxed{\largem_g \simeq 729 \sf \: g }}$

E concluímos que, desprezando qualquer perda de calor da mistura - recipiente para o ambiente, a massa inicial de gelo é aproximadamente 729 g.

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