Um recipiente cilíndrico que tem raio da base e altura medindo 20 cm e 10 cm, respectivamente, tem o raio aumentado em 20%. Quantos por cento deverá diminuir a altura para que o volume do cilindro mantenha-se o mesmo.
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Ândria, que a resolução é mais ou menos simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se que um recipiente cilíndrico tem raio da base (r) e altura (h) medindo 20cm e 10cm, respectivamente, tem o raio aumentado em 20% (ou 0,20). Quantos por cento deverá diminuir a altura para que o volume do cilindro mantenha-se o mesmo.
ii) Primeiro vamos encontrar qual é o volume do cilindro com as medidas dadas. Note que o volume (V) de um cilindro é dado assim:
V = π*r²*h , em que "V" é o volume, "π" é geralmente substituído por "3,14"; r² é o raio ao quadrado e "h" é a altura.
Fazendo as devidas substituições, teremos:
V = 3,14*(20²)*10 ----- desenvolvendo, temos:
V = 3,14*400*10 ----- efetuando este produto teremos:
V = 12.560cm³ <---- Este seria o volume do cilindro original da sua questão.
iii) Agora vamos aumentar 20% (ou 0,20) no raio original. Assim, ao aumentarmos 20% (ou 0,20) em cima de 20cm, teremos: 20 + 0,20*20 = 20+4 = 24cm <--- Este será o valor do raio da base ao ser aumentado em 20%. Agora vamos calcular o volume do cilindro com essa modificação , ou seja, com o raio da base aumentado em 20%. Assim, utilizando-se novamente a fórmula do volume de um cilindro, teremos:
V = π*r²*h ----- fazendo-se as devidas substituições, teremos:
V = 3,14*(24²)*10 ----- desenvolvendo, teremos:
V = 3,14*576*10 ---- efetuando-se este produto, teremos:
V = 18.086,40cm³ <--- Este é o volume do cilindro quando o raio da base é aumentado em 20% em relação ao cilindro das medidas originais.
iv) Finalmente, agora faremos o seguinte: tomaremos a última expressão, já com o raio do cilindro aumentado em 20% e retiraremos o valor "x" da altura (10) a fim de que o volume volte ao volume do cilindro original (12.560cm³). Assim, teremos que:
π*(24²)*(10-x) = 12.560 ----- desenvolvendo, teremos:
3,14*576*(10-x) = 12.560 ---- como "3,14*576 = 1.808,64", teremos:
1.808,64*(10-x) = 12.560 ---- isolando (10-x), teremos:
(10-x) = 12.560/1.808,64 ---- note que esta divisão dá "6,9444...." ou apenas "6,944" aproximadamente.. Logo:
10 - x = 6,944 ----- passando "10" para o 2º membro, teremos:
- x = 6,944 - 10 ----- note que esta subtração dá "-3,056". Logo:
- x = - 3,056---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
x = 3,056 <--- Este é o valor de "x" que deverá ser retirado da altura "10" para que o volume volte ao original.
Para saber qual será o percentual, então utilizaremos uma regra de três simples e direta e saberemos quanto é que "3,056" representa de "10". O resultado será o percentual a ser retirado da altura para que o volume volte ao original. Assim, teremos:
10 ------------------ 100%
3,056 --------------- x%
Como a regra de três é simples e direta, então as razões comportar-se-ão naturalmente da seguinte forma;
10/3,056 = 100/x ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
10*x = 100*3,056 ----- efetuando esses produtos, teremos:
10x = 305,6 ---- isolando "x", teremos:
x = 305,6/10
x = 30,56% <---- Esta é a resposta. Ou seja, para que o volume do cilindro volte a ter o volume original, deveremos diminuir 30,56% da altura.
Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos ver se isso é verdade mesmo. Vamos tomar o volume quando foi aumentado o percentual de 20% em cima do raio original e vamos retirar 30,56% da altura e vamos ver se o colume realmente dará igual ao volume original (12.560). Vamos ver:
V = π*(24²)*(10-3,056) ---- desenvolvendo, temos:
V = 3,14*576*6,944 ----- veja que este produto dá "12.560" bem aproximado. Logo: teremos: V = 12.560cm³ <--- Veja como é verdade.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.