Question

Um rapaz de 1,5 m de altura que está parado, em pé, a uma distancia de 15 m de um muro de 6,5 m de altura, lança uma pedra formando um ângulo de 45° com a horizontal.Com que velocidade mínima deve lançar a pedra para que esta passe por cima do muro? Despreze a resistência do ar e adote g= 10 m/s².

Answer 1

Para iniciar:
s = distância entre o garoto e o muro (15 m)
h = altura real do muro (5 m)
β = ângulo formado com a horizontal ($45^{o}$)
$v_{o}$ = velocidade inicial
g = gravidade

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Primeiramente, vamos analisar a altura real do muro. Disseram que o muro mede 6,5 m, mas a pedra será lança à 1,5 m, então, precisamos de uma altura de 5 m. Sabemos que:
$s=s_{o}+v_{o}t+\frac{\alpha t^{2}}{2}$
Neste caso
$h=v_{oy}t-\frac{gt^{2}}{2}$
$h=v_{o}sen\beta t-\frac{gt^{2}}{2}$
##Caso não se lembre, em lançamentos oblíquos (como neste caso por exemplo), devemos decompor o vetor velocidade ($v$) em dois outros vetores ($v_{x}$ e $v_{y}$), estes são os vetores de velocidade na horizontal e na vertical respectivamente.
Vamos agora encontrar o tempo:
$v_{x}=\frac{d}{t}$
$t=\frac{d}{v_{x}}$
$t=\frac{d}{v_{o}cos\beta}$
Agora, basta substituirmos:
$h=v_{o}sen\beta(\frac{d}{v_{o}cos\beta})-\frac{g}{2}(\frac{d}{v_{o}cos\beta})^{2}$
$h=tg\beta *s-\frac{gs^{2}}{2v_{o}^{2}cos^{2}\beta}$
$\frac{gs^{2}}{2v_{o}^{2}cos^{2}\beta} = tg\beta*s-h$
$2v_{o}^{2}cos^{2}\beta=\frac{gs^{2}}{tg\beta*s-h}$
$v_{o}^{2}=\frac{gs^{2}}{2cos^{2}\beta(tg\beta*s-h)}$
$vo=\sqrt{\frac{gs^{2}}{2cos^{2}\beta(tg\beta*s-h)}}$
$v_{o}=\sqrt{\frac{10*15^{2}}{2*(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}(1*15-5)}}$
$v_{o} = 15$ m/s
Mas isto é para obtermos 5 m de altura, como queremos lançar acima disso:
$v_{o} \geq 15$ m/s

Caso duvide do resultado, faça:
$t =\frac{s}{v_{o}cos\beta}$
E substitua em:
$h=v_{o}sen\beta t - \frac{gt^{2}}{2}$
Todo o processo de teste deve ser realizado utilizando $v_{o}$ = 15 m/s, isto para obtermos h = 5 m.