Matemática, perguntado por matematicando, 1 ano atrás

Um raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 min/s. Quão rápido o volume está aumentando quando o diâmetro for 80 mm.

Uma película está se movimentando ao longo de uma hipérbole xy=8. Quando atinge o ponto [4,2] a coordenada y está decrescendo a uma taxa de 3cm/s. Quão rápido a coordenada x está variando nesse movimento.

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
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1) O volume de uma esfera de raio r é dado por

 V(r)=\dfrac{4}{3}\,\pi r^{3}


O raio varia com o tempo t. Logo, r é uma função de t:

r=r(t)


Se o raio aumenta a uma taxa de 4\text{ mm/s}, então

\dfrac{dr}{dt}=4\text{ mm/s}



No instante em que o diâmetro for 80\text{ mm}, o raio será de

r=80:2=40\text{ mm}


Queremos encontrar a taxa de variação do volume V da esfera em relação ao tempo. Aplicando a Regra da Cadeia, temos

\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\cdot \dfrac{dr}{dt}\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{4}{3}\,\pi r^{3}\right)\cdot (4)\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4}{3}\,\pi\cdot \dfrac{d}{dr}(r^{3})\cdot (4)\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4}{3}\,\pi\cdot (3r^{2})\cdot (4)\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}=16\pi r^{2}


Logo, quando o raio for 40\text{ mm,} o volume da esfera estará aumentado a uma taxa de

\dfrac{dV}{dt}_{(r=40)}=16\pi \cdot (40)^{2}\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}_{(r=40)}=16\pi \cdot 1\,600\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}_{(r=40)}=25\,600\pi\text{ mm}^{3}\text{/s}\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}_{(r=40)}\cong 25\,600\cdot 3,14\text{ mm}^{3}\text{/s}\\ \\ \\ \dfrac{dV}{dt}_{(r=40)}\cong 80\,384\text{ mm}^{3}\text{/s}


2) Podemos pensar na curva

xy=8\;\;\Rightarrow\;\;y=\dfrac{8}{x}

como uma curva paramétrica, onde a abscissa e a ordenada variam com o tempo:

\left\{\begin{array}{c} x=x(t)\\ y=y(t) \end{array}\right.


Sendo assim, o enunciado informa que, quando

x=4\;\;\text{ e }\;\;y=2

a ordenada y está decrescendo a uma taxa de 3\text{ cm/s}:

\dfrac{dy}{dt}=-3\text{ cm/s}


Queremos descobrir a taxa de variação de x neste instante. Aplicando a Regra da Cadeia, temos

\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dt}\\ \\ \\ 3=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{8}{x}\right)\cdot \dfrac{dx}{dt}\\ \\ \\ 3=-\dfrac{8}{x^{2}}\cdot \dfrac{dx}{dt}\\ \\ \\ \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{3x^{2}}{8}


No instante em que x=4, temos

\dfrac{dx}{dt}_{(x=4)}=-\dfrac{3\cdot 4^{2}}{8}\\ \\ \\ \dfrac{dx}{dt}_{(x=4)}=-\dfrac{3\cdot 16}{8}\\ \\ \\ \dfrac{dx}{dt}_{(x=4)}=-6\text{ cm/s}


Portanto, no ponto (4;\,2) a abscissa x está decrescendo a uma taxa de 6\text{ cm/s}.

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