Question

Um quebra-luz é um cone de geratriz 17cm e altura de 15cm. Calcule sua área e volume. (sabendo que $\pi$ nao se substitui)

Answer 1

Inicialmente temos que obter o raio da base do cone, em o que é impossível obter as respostas solicitadas.
O raio (r) da base é cateto de um triângulo retângulo, no qual a altura (h) é o outro cateto e a geratriz (g) é a hipotenusa. Aplicando-se o teorema de Pitágoras, teremos:
g² = h² + r²
r² = g² - h²
Substituindo-se os valores conhecidos:
r² = 17² - 15²
r² = 289 - 225
r² = 64
r = √ 64
r = 8 cm

O volume do cubo (V) é igual a 1/3 do produto da área da base (Ab) pela altura (h):
V = Ab × h ÷ 3 (1)
A área da base Ab é igual à área de um círculo de raio r:
Ab = π × r²
Ab = π × 8²
Ab = π × 64
Ab = 64π cm²

Substituindo os valores conhecidos em (1), obtemos o valor do volume (V):
V = 64π × 15
V = 960π cm³

A área do cone (At) é igual à área da base (Ab) somada com a sua área lateral (Al).
A área lateral do cone corresponde à área de um setor circular cujo raio é igual à geratriz do cone (g) e cuja amplitude é igual ao comprimento de seus arco, o qual, por sua vez, é igual ao comprimento da circunferência da base (cb).
O comprimento da circunferência da base (cb) do cone é igual a:
cb = 2 × r × π
Como o raio da base (r) é igual a 8 cm, temos:
cb = 2 × 8 × π
cb = 16π cm

Se a superfície lateral do cone fosse um círculo, e não um setor circular, o comprimento do seu arco (c360) seria igual a:
c360 = 2 × g × π
c360 = 2 × 17 × π
c360 = 34π cm
e sua área (A360) seria igual a:
A360 = π × g²
A360 = π × 17²
A360 = 289π cm²
Como, no entanto, o comprimento deste arco deve coincidir com o comprimento da base do cone, para que a sua lateral "feche" o cone, estabelecemos uma regra de três para obter a sua área:
34π    -----   289π
16π    -----     x π
Multiplicando os meios pelos extremos:
xπ = 289π × 16π ÷ 34π

Área lateral do cone (Al) = 136π cm²

A área total (At) do cone é igual à soma da área de sua base (Ab) com a sua área lateral (Al):
At = Ab + Al
At = 64π + 136π
At = 200π cm²

Confirmando os valores obtidos:
Volume do cone: 960π cm³
Área total do cone: 200π cm²