Um quadro tem forma retangular de dimensões externas 12 cm X 15 cm; A moldura tem largura X uniforme e área da região interna à moldura é 88 cm²; Qual é a largura da moldura? (Por favor, expliquem de forma clara! O meu resultado deu 4, porém está errado e eu não sei o porquê!)
Soluções para a tarefa
largura 15 - 2x e altura 12 - 2x
Sabendo que a área desta região é 88 cm² podemos escrever:
As raízes desta equação (utilize Bháskara) são 2 e 23/2
Porém 32/2 não é uma solução razoável (por se tratar da medida da largura da moldura, portanto a resposta adequada é 2 cm
Resposta: a moldura mede 2 cm
O retângulo de fora tem área 15 . 12 = 180 cm²
O retângulo de dentro tem área x.y = 88 cm. Para que dê 88 cm² as medidas devem ser 22. 4 ou 11.8 . Vamos escolher 11 . 8 porque 11 cm é um comprimento menor que 15 cm do retângulo de fora. Ou seja, para caber dentro do retângulo de fora, a medida tem de ser menor.
xy = 11.8 = 88 cm².
O terceiro retângulo que é a moldura tem medida de área igual a 180 - 88 = 92 cm².
Vamos montar uma expressão algébrica:
(15 - a) (12 - a) = 180 - 92 ⇒ aqui consideramos apenas uma largura e um comprimento (a).
15(12-a) - a (12-a) = 88
180 - 15a - 12a + a² = 88
180 - 88 - 27a + a² = 0
92 - 27a + a² = 0
Δ = (-27)² - 4.1.92
Δ = 729 - 368
Δ = 361
a' = [-(-27) + √361]: 2. 1 ∴ a' = [27 + 19]: 2 ∴ a' = 46 : 2∴ a' = 23 (não serve porque é maior que 15 cm e 12 cm).
a'' = [27 - 19]:2 ∴ a'' = 8 : 2 ∴ a'' = 4
Aqui vamos dividir por dois o a'' que fica 4:2 = 2 cm (largura da moldura)
ou
Podemos considerar duas larguras e dois comprimentos 2a:
(15 - 2a)(12 - 2a) = 88 cm², onde a será a medida da largura da moldura.
15 (12 - 2a) - 2a (12-2a) = 88
180 - 30a - 24a + 4a² = 88
180 - 88 - 54a + 4a² = 0
92 - 54a + 4a² = 0
Δ = (-54)² - 4. 4. 92
Δ = 2 916 - 1 472
Δ = 1 444
a' = [-(-54) + √1444]: 2.4∴ a' = [54 + 38] : 8 ∴ a' = 92/8 ∴ a' = 23/2 (simplificado por 4)
a'' = [54 - 38]: 8 ∴ a'' = 16: 8 ∴ a'' = 2 cm (largura da moldura)