Question

Um quadro de 70cm de altura é colocado numa parede com base 90cm acima dos olhos de um observador. A que distância da parede deve-se colocar o observador para que o ângulo subentendido pelo quadro a seus olhos seja o maior possível? Se considerarmos que a distância do observador até a parede é d metros, a que altura deve ficar o quadro para o otimizar o ângulo subentendido pelo quadro e seus olhos?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{d=120~cm}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar do conceito de derivada implícita e ponto máximo de uma função crescente.

Observe a imagem em anexo: temos os ângulos $\alpha$, relativo à altura de seus olhos até a base do quadro,  $\beta$, relativo à altura de seus olhos ao quadro e $\gamma$, relativo à altura de seus olhos desde a base até o quadro.

Buscamos a distância $d$, entre o observador e a parede tal que o ângulo de visualização, ou seja, neste caso o ângulo $\beta$ seja máximo.

Observe que podemos utilizar a fórmula de soma de arcos para expressarmos a relação entre a distância $d$ e as alturas:

$\gamma=\alpha+\beta$, logo $\tan(\gamma)=\tan(\alpha+\beta)$

Assim, teremos

$\tan(\gamma)=\dfrac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\cdot\tan(\beta)}$

Observe que o triângulo formado pela visão do observador e as alturas é retângulo, logo vale dizer que:

$\tan(\alpha)=\dfrac{90}{d}$ e $\tan(\gamma)=\dfrac{90+70}{d}$

Assim, somando os valores e substituindo, teremos

$\dfrac{160}{d}=\dfrac{\dfrac{90}{d}+\tan(\beta)}{1-\dfrac{90}{d}\cdot\tan(\beta)}$

Some as frações

$\dfrac{160}{d}=\dfrac{90+d\cdot \tan(\beta)}{d-90\cdot \tan(\beta)}$

Multiplicando cruzado, teremos

$160\cdot(d-90\tan(\beta))=d\cdot(90-d\tan(\beta))$

Efetue a propriedade distributiva

$160d-14400\tan(\beta)=90d+d^2\tan(\beta)$

Isolando $\tan(\beta)$, teremos

$d^2\tan(\beta)+14400\tan(\beta)=160d-90d\\\\\\ \tan(\beta)\cdot(d^2+14400)=70d\\\\\\ \tan(\beta)=\dfrac{70d}{d^2+14400}$

Assim, calculamos a derivada em ambos os lados da equação. Lembre-se que:

• A derivada da tangente é dada por: $(\tan(x))'=\sec^2(x)$.
• A derivada de uma função racional é dada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-v'\cdot u}{v^2}$.
• A derivada de uma soma de funções é dada pela soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Assim teremos:

$\sec^2(\beta)\cdot d\beta=\dfrac{70\cdot (d^2+14400)-70d\cdot(2d)}{(d^2+14400)^2}$

Efetue a propriedade distributiva

$\sec^2(\beta)\cdot d\beta=\dfrac{70d^2+1008000-140d^2}{(d^2+14400)^2}$

Some os termos semelhantes

$\sec^2(\beta)\cdot d\beta=\dfrac{1008000-70d^2}{(d^2+14400)^2}$

Devemos fazê-lo de forma que $d\beta$ seja nulo, visto que a função cresce até seu ponto de máximo e passa a decrescer a partir daí. Logo:

$\sec^2(\beta)\cdot 0=\dfrac{1008000-70d^2}{(d^2+14400)^2}\\\\\\\\\ \dfrac{1008000-70d^2}{(d^2+14400)^2}=0$

A condição para que esta fração seja determinada é que $d^2\neq -1440$, porém, como $d^2$ é um valor estritamente positivo, por conta do expoente par, teremos:

$1008000-70d^2=0$

Isole $d^2$

$70d^2=1008000$

Divida ambos os lados da equação por $70$

$d^2=14400$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$d=\pm\sqrt{14400}$

Como se trata de uma medida, assumimos a solução positiva

$d=120$

Como as medidas estavam dadas em centímetros, nossa resposta final é:

A distância do observador para que o ângulo de visualização seja máximo é de 120 cm.