Question

Um quadriculado m × n com m linhas e n colunas, m, n ≥ 2, deve ser preenchido com números do conjunto {−1,0,1} de tal maneira que qualquer quadriculado 2 × 2 contido no quadriculado m × n tenha a soma de seus números igual a zero. Na figura abaixo (ANEXO) tem - se um possível preenchimento de um quadriculado 2 × 3.

Answer 1

• Observe o quadriculado de 8×8 células a seguir. Os valores foram preenchidos em grupos de quatro células idênticas de forma que para quaisquer grupos de quatro células adjacentes a soma de seus valores resulta zero.
• A) Para um quadriculado de 8×8 a quantidade total de células é 64 e portanto múltiplo de 4, assim para m = 8 e n = 8 a soma (S) de todos os números do quadriculado m × n é zero.

$\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}\\\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}\\\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}\\\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}$$\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}\\\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}\\\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}\\\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}$$\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}\\\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}\\\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}\\\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}$$\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}\\\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}\\\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}\\\begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-2} \bigg 0 &1 \\\cline{1-2}\end{array}$

• B) Para um quadriculado 3×3 observe que para qualquer situação vale a regra:

S = a − e + i = c − e + g

$\begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} \bigg \enspace a \enspace & \enspace b \enspace & \enspace c \enspace \\\cline{1-3} \bigg d & e & f \\\cline{1-3} \bigg g & h & i \\\cline{1-3}\end{array} \qquad$

Bloco ①:

$\begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace &-1 \\\cline{1-3} \bigg 0 & 1 & 0 \\\cline{1-3} \bigg -1 &0 &-1 \\\cline{1-3}\end{array} \qquad$

S = −1 − 1 + 1 − 1 − 1 = −3

S = a − e + i = c − e + g

S = −1 − 1 − 1 = −1 − 1 − 1 = −3

Bloco ②:

$\begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} \bigg \enspace 0 \enspace & -1 & 0 \\\cline{1-3} \bigg 1 & 0 & 1 \\\cline{1-3} \bigg 0 & -1 & \enspace 0 \enspace \\\cline{1-3}\end{array} \qquad$

S = −1 + 1 + 1 − 1 = 0

S = a − e + i = c − e + g

S = 0 − 0 + 0 = 0 − 0 + 0 = 0

Bloco ③

 $\begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} \bigg \enspace 1 \enspace & \enspace 0 \enspace & \enspace 1 \enspace \\\cline{1-3} \bigg 0 & -1 & 0 \\\cline{1-3} \bigg 1 &0 & 1 \\\cline{1-3}\end{array} \qquad$

S = 1 + 1 − 1 + 1 + 1 = 3

S = a − e + i = c − e + g

S = 1 − (−1) + 1 = 1 − (−1) + 1 = 3

• C) Para um quadriculado de 5×5:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\cline{1-5} \bigg -1 & \enspace 0 \enspace & -1 & \enspace 0 \enspace & -1 \\\cline{1-5} \bigg 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\cline{1-5} \bigg -1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\\cline{1-5} \bigg 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\cline{1-5} \bigg -1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\\cline{1-5}\end{array}$

S = −1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 − 1 = −5

• Para cálculo da soma (S) de todos os valores do quadriculado usando apenas a diagonal principal deve-se alternar o sinal.

S = a − b + c − d + e

S = −1 − (1) − 1 − (1) − 1 = −5

• D) O valor máximo da soma (S) para um quadriculado de 5×5 será 5 pois é a quantidade máxima de células na diagonal. O resultado 5 ocorre quando a primeira célula (esquerda superior) é igual a 1.
• Observe que para um quadriculado com quantidade de linhas e colunas ímpares a soma pode ser obtida somando os elementos da primeira linha e primeira coluna pois as células restantes serão em quantidade múltiplo de 4 e portanto sua soma é zero.

Aprenda mais em:

• brainly.com.br/tarefa/30566128 − Sentença e expressão
• brainly.com.br/tarefa/38897953 − Função
• brainly.com.br/tarefa/38349363 − Bhaskara

Answer 2

A)

No quadrilátero 8x8 temos 16 quadriláteros de S=0 cda um,

a soma de todos é 16*0= 0 , a regra mencionada é

para os quadriláteros 2x2

B)

S =a+b+c+d+e+f+g+h+i (i)

a+b+d+e=0 ==>b+d=-a-e  (ii)

b+c+e+f=0 ==>b+f=-e-c  (iii)

d+e+g+h=0 ==> d+h=-e-g (iv)

e+f+h+i=0 ==> f+h=-e-i  (v)

(ii) em (i)

(v) em (i)

S =a+c+e+g+i-a-e-e-i

S =c+g-e =c-e+g

(iii)  em (i)

(iv)  em (i)

S =a+c+e+g+i-e-c -e-g

S =a+i -e =a-e+i

S = c-e+g=a-e+i    c.q.p.

** c.p.q. conforme queríamos provar

C)

a imagem em anexo é deste item

S=a+f+g+h+i+j+b+l+m+n+o+p+c+q+r+s+t+u+d+v+x+y+w+k+e (i)

s+t+x+y=0  (ii)

h+i+m+n=0  (iii)

q+r+d+v=0  (iv)

substitua (ii),(iii) e (iv)  em (i)

S=a+f+g+j+b+l+o+p+c+u+w+k+e  (v)

u+d+w+k=0 ==>u+w=-d-k  (vi)

(vi) em (v)

S=a+f+g+j+b+l+o+p+c-d-k+k+e (vii)

S=a+f+g+j+b+l+o+p+c-d+e  (viii)

j+b+o+p=0  ==>o+p=-j-b (ix)

substitua (ix)  em (viii)

S=a+f+g+j+b+l-j-b+c-d+e  (x)

S=a+f+g+b+l-b+c-d+e (xi)

f+g+b+l =0 ==>f+g=-b-l (xii)

Substitua (xii) em (xi)

S=a-b-l+b+l-b+c-d+e

S=a-b+c-d+e  é a resposta,  se eu não vacilei, mas a ideia é esta

D)

S=a-b+c-d+e

a=1

b=-1

c=1

d=-1

e=1

==>S=1-(-1)+1-(-1)+1 = 5