Question

Um quadrado tem lado (x+1) u.c. e diagonal (x+1+2√2) u.c..
Qual a área desse quadrado em valores numéricos em unidades de área?
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Answer 1

A diagonal de um quadrado (ver anexo) é dada pelo produto entre a medida de seu lado e √(2), como é mostrado abaixo.

$\boxed{Diagonal_{quadrado}~=~Lado~.~\sqrt{2}}$

Vamos então substituir na equação os dados fornecidos no texto:

$\left(x+1+2\sqrt{2}\right)~=~(x+1)~.~\sqrt{2}\\\\\\x+1+2\sqrt{2}~=~\sqrt{2}\,x~+~\sqrt{2}\\\\\\x-\sqrt{2}\,x~=~\sqrt{2}-1-2\sqrt{2}\\\\\\x\,.\,(1-\sqrt{2})~=~-\sqrt{2}-1\\\\\\x~=~\frac{-\sqrt{2}~-~1}{1~-~\sqrt{2}}\\\\\\Racionalizando~a~fracao:\\\\\\x~=~\frac{-\sqrt{2}~-~1}{1~-~\sqrt{2}}~.~\frac{1~+~\sqrt{2}}{1~+~\sqrt{2}}\\\\\\x~=~\frac{-\sqrt{2}\,.\,1~-~\sqrt{2}~.~\sqrt{2}~-~1~.~1~-~1~.~\sqrt{2}}{1~.~1~+~1~.~\sqrt{2}~-~\sqrt{2}~.~1~-~\sqrt{2}~.~\sqrt{2}}$

$x~=~\frac{-\sqrt{2}~-~2~-~1~-~\sqrt{2}}{1~+~\sqrt{2}~-~\sqrt{2}~-~2}\\\\\\x~=~\frac{-2\sqrt{2}~-~3}{-1}\\\\\\\boxed{x~=~2\sqrt{2}+3}$

Agora, com o valor de "x", podemos determinar a área do quadrado:

$Area_{quadrado}~=~Lado~.~Lado\\\\\\Area~=~(x+1)~.~(x+1)\\\\\\Area~=~\left(~(2\sqrt{2}+3)+1~\right)~.~\left(~(2\sqrt{2}+3)+1~\right)\\\\\\Area~=~\left(2\sqrt{2}+4\right)~.~\left(2\sqrt{2}+4\right)\\\\\\Area~=~2\sqrt{2}~.~2\sqrt{2}~+~2\sqrt{2}~.~4~+~4~.~2\sqrt{2}~+~4~.~4\\\\\\Area~=~4~.~2~+~8\sqrt{2}~+~8\sqrt{2}~+~16\\\\\\Area~=~8~+~16\sqrt{2}~+~16\\\\\\\boxed{Area~=~24+16\sqrt{2}}$