Question

Um quadrado no plano cartesiano tem vértices nos pontos A(4, 1), B(-2, 1), C(-2,-5) e D(4, -5). Então, escreva a equação da circunferência circunscrita neste quadrado.

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação reduzida da circunferência circunscrita no referido quadrado é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \lambda: (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 18\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos:

                         $\Large\begin{cases} A(4, 1)\\B(-2, 1)\\C(-2, -5)\\D(4, -5)\end{cases}$

Uma vez que a circunferência é circunscrita ao quadrado, o centro da circunferência é igual ao ponto médio de uma das diagonais do quadrado.

Para resolver esta questão devemos:

• Calcular o centro "O" da circunferência. Para isso, precisamos calcular o ponto médio da diagonal "AC". Então temos:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} O = \bigg(\frac{X_{A} + X_{C}}{2},\,\frac{Y_{A} + Y_{C}}{2}\bigg)\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{-2 + 4}{2},\,\frac{-5 + 1}{2}\bigg)\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{2}{2},\,\frac{-4}{2}\bigg)\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (1, \,-2)\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:O(1, -2)\end{gathered}$

• Calcular o raio da circunferência. Para isso, devemos calcular a distância entre o centro "O" e o qualquer um dos vértices do quadrado. Neste caso, utilizarei o vértice "B". Então, temos:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} r = d_{\overline{OB}}\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{(-2 - 1)^{2} + (1 - (-2))^{2}}\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{(-3)^{2} + 3^{2}}\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \sqrt{9 + 9}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \sqrt{18}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \sqrt{3^{2}\cdot2}\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\sqrt{2}\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:r = 3\sqrt{2}\,u\cdot c\end{gathered}$

• Montar a equação reduzida da circunferência. Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x_{O})^{2} + (y - y_{O})^{2} = r^{2}\end{gathered}$

         Substituindo os dados na equação, temos:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 1)^{2} + (y - (-2))^{2} = (3\sqrt{2})^{2}\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 18\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação da circunferência é:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lambda: (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 18\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$