Question

Um quadrado inscrito na circunferência $(x-5)^2+(y-6)^2=50$ tem um dos seus vértices no ponto (6, 13). Dê o vértice do quadrado que está na mesma diagonal que (6, 13).

Answer 1

Encontrei DUAS MANEIRAS de resolver a questão, dentre elas irei escolher a mais prática e talvez mais longa. Veja só:

Sabemos que a EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA é $(x-5)^2+(y-6)^2=50$ com essa equação sabe-se que:

$Dados \to \left\{\begin{array}{ccc}x_c = 5\\\\y_c = 6\\\\r = \sqrt{50} = \sqrt{25*2} = 5\sqrt{2}\end{array}\right$

Se um dos vértices do quadrado tem as coordenadas $(6,13)$ , as DUAS DIAGONAIS que um quadrado forma se encontram no centro, que no caso é o CENTRO DA CIRCUNFERÊNCIA. A questão pede as coordenadas que pertencem a MESMA DIAGONAL que se encontra a diagonal dada.

Sabendo que O CENTRO é o PONTO MÉDIO dessa diagonal e que o ponto $(6,13)$ pertence a essa diagonal, basta chamar as coordenadas desconhecidas de $(a,b)$.

$Resolu\c{c}\~ao \to \left\{\begin{array}{ccc} \frac{a+6}{2} = 5\\\\a+6 = 10\\\\\boxed{\boxed{a = 4}}\end{array}\right \to \left\begin{array}{ccc}\frac{b+13}{2} = 6\\\\b+13 = 12\\\\\boxed{\boxed{b = -1}}\end{array}\right \to (4,-1)$

O vértice do quadrado que está na mesma diagonal de (6,13) é (4,-1).

Espero ter ajudado. =^.^=