Question

Um quadrado está escrito em uma circunferência ,e outro quadrado está circunscrito à mesma medida circunferência (conforme a figura abaixo).Se o raio da circunferência é 3cm,a diferença entre os perímetros desses quadrados em cm é igual a:
a) 3 (2√2)
b)4 (3-√2)
c)6 (4-√2)
d)12(2-√2)
e)24(1-√2)

Por favor colocar o cálculo na descrição.

Answer 1

Se um quadrado de lado $L$ está inscrito numa circunferência de raio $r$ então a diagonal desse quadrado é igual ao diâmetro da circunferência.

A diagonal de um quadrado de lado $L$ mede $L\sqrt{2}$. Como o raio desse circunferência é 3 cm, seu diâmetro vale 2 x 3 cm = 6 cm, assim:

$L\sqrt{2}=6 \iff L=\dfrac{6}{\sqrt{2}} \iff L=\dfrac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$

Assim, o perímetro do quadrado inscrito é $4L=4\cdot3\sqrt{2}=12\sqrt{2}$.

Já quando um quadrado está circunscrito numa circunferência, o diâmetro dessa circunferência corresponde ao lado do quadrado.

Logo, o lado do quadrado circunscrito mede 6 cm e o seu perímetro vale $4\cdot6=24~\text{cm}$.

Assim, a diferença entre os perímetros é $24-12\sqrt{2}=\boxed{12\cdot(2-\sqrt{2})}$

Alternativa D