Question

Um quadrado de lado x e um triângulo equilátero de lado y possuem áreas de mesma medida. Assim, pode-se afirmar que a razão y/x é igual a?

Answer 1

O valor da razão y/x é de

$\frac{2}{\sqrt[4]{3} }$

Áreas de polígonos

Área de um quadrado:

$\boxed{A=x^2}$

Área de um triângulo:

$\boxed{A=\frac{y*h}{2}}$

Onde a é h altura do triângulo equilátero. Para descobri-la, devemos utilizar o Teorema de Pitágoras, dado por:

$\boxed{a^2=b^2+c^2}$

Onde a é a hipotenusa do triângulo retângulo dado ABM, e c, a altura do triângulo ABC

Então:

$y^2=(y/2)^2+h^2$

Isolando h, temos:

$h^2=y^2-\frac{y^2}{4}\\\\h=\sqrt{\frac{4y^2-y^2}{4}}=\frac{y}{2} \sqrt{3}$

Agora, aplicando na equação da área do triângulo:

$A=\frac{y*(\frac{y\sqrt{3} }{2})}{2}\\\\A=\frac{y^2\sqrt{3} }{4}$

É dito que as áreas são iguais, então:

$A=\frac{y^2\sqrt{3} }{4}=x^2$

É pedido a razão y/x, então, basta dividir ambos lados por x^2, e extrair e raiz quadrada.

$\frac{y^2}{x^2}=\frac{4}{\sqrt{3} }\\\\\sqrt{\frac{y^2}{x^2}}=\frac{2}{\sqrt[4]{3} }\\ \\\boxed{\frac{y}{x}=\frac{2}{\sqrt[4]{3} }}$

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