Question

um quadrado da área de 24 cm2 está inscrito num círculo. Um triângulo equilátero inscrito neste mesmo círculo tem perímetro igual a?

Answer 1

Sejam $\ell_4$ o lado do quadrado e $r$ o raio da circunferência inscrita. Inicialmente, calculando o lado do quadrado:

$\'Area=\ell_4^2\iff \ell_4^2=24~cm^2\iff \ell_4=\sqrt{24}~cm\iff \ell_4=2\sqrt6~cm$

Note que o diâmetro (de medida $2r$) da circunferência é também diagonal do quadrado. Dessa forma, podemos usar que, se $d$ é diagonal de um quadrado de lado $\ell_4$, então $d=\ell_4\sqrt2$. Assim:

$d=\ell_4\sqrt2\iff 2r=(2\sqrt6\cdot)\sqrt2\iff 2r=2\sqrt{12}\iff r=\sqrt{12}~cm\\\\\iff r=2\sqrt3~cm$

Agora, basta calcular o perímetro do triângulo inscrito, usando que, se $\ell_3$ é o lado do triângulo inscrito, temos que $\ell_3=r\sqrt3$:

$\ell_3=r\sqrt3\iff\ell_3=(2\sqrt3)\cdot\sqrt3\iff\ell_3=6~cm$

Encontrado o lado, podemos calcular o perímetro: $2p=3\ell_3\iff \boxed{2p=18~cm}$