Question

Um próton viajando numa direção que faz um ângulo de 23º em relação à direção de um campo magnético de intensidade igual a 2,60 mT experimenta a ação de uma força magnética de 6,50.10-17 N. Calcule (a) a velocidade escalar do próton e (b) a sua energia cinética em elétrons-volts.

Answer 1

A força magnética que atua num protão, de carga $e$, e velocidade $\vec{v}$ num campo magnético $\vec{B}$ é:

$\vec{F}_m = e\vec{v}\times\vec{B} \implies \left|\vec{F}_m\right| = e\left|\vec{v}\times\vec{B}\right| = e\left|\vec{v}\right|\left|\vec{B}\right|\sin\theta,$

sendo $\theta$ o ângulo entre o campo e a velocidade. No presente caso, obtemos então:

$\left|\vec{F}_m\right| = e\left|\vec{v}\right|\left|\vec{B}\right|\sin\theta \iff \\\\\iff 6.50\times10^{-17}\textrm{ N} = 1.60\times10^{-19}\textrm{ C} \times \left|\vec{v}\right|\times 2.60 \times 10^{-3}\textrm{ T} \times \sin 23^\circ \iff\\\iff 6.50\times10^{-17}\textrm{ N} = 1.63\times10^{-22}\textrm{ C T} \times \left|\vec{v}\right| \iff\\\\\iff \left|\vec{v}\right| = 3.99 \times 10^5\;\dfrac{\textrm{N}}{\textrm{C T}} = 3.99 \times 10^5\textrm{ m/s}.$

Uma vez que $\left|\vec{v}\right| \ll c$, podemos utilizar a expressão clássica da energia cinética. Classicamente, a energia cinética do protão, de massa $m$, é dada por:

$K = \dfrac{1}{2}m\left|\vec{v}\right|^2 = \dfrac{1}{2} \times 1.67\times 10^{-37}\textrm{ kg} \times \left(3.99 \times 10^5\textrm{ m/s}\right)^2 = 1.33\times 10^{-26}\textrm{ J}.$

Se a velocidade fosse suficientemente elevada, teríamos de utilizar a expressão relativista da energia cinética. Para velocidades próximas da velocidade da luz, a energia cinética é dada por:

$K = (\gamma - 1)mc^2,$

com

$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\left|\vec{v}\right|^2/c^2}}.$

Podemos ainda confirmar que, neste caso, os valores obtidos são próximos para ambas as expressões:

$K = (\gamma - 1)mc^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt{1-(\frac{3.99\times 10^5 \textrm{ m/s}}{3.00 \times 10^8 \textrm{ m/s}})^2}}-1\right) \times 1.67 \times 10^{-37} \textrm{ kg} \times \left(3.00 \times 10^8 \textrm{ m/s}\right)^2 =\\\\=1.33 \times 10^{-26}\textrm{ J}.$