Um projétil que é disparado do alto de um barranco de 180 m de altura acima de um vale. A
velocidade inicial do projétil é 60 m/s, e a arma faz um ângulo de 60o com a horizontal.
Assumindo que g = 9,8 m/s² e desconsiderando-se a resistência do ar, determine:
a) a distância horizontal percorrida pelo projétil ao atingir o solo.
b) o vetor e o módulo da velocidade do projétil ao atingir o solo.
c) o ângulo com a horizontal do vetor da velocidade com que o projétil atinge o solo.
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Primeiro, calcule o tempo total do trajeto, composto pelo tempo de
subida mais o tempo de descida. De posse deste tempo total, calcule o
deslocamento horizontal, já que como o projétil parte de cima de uma
colina de 200 m, então o ponto vertical de parada é no nível do solo (0
metros).
A velocidade inicial de 60 m/s deve ser decomposta em velocidade inicial horizontal (Vox) e velocidade inicial vertical (Voy), sendo que a velocidade horizontal se mantém constante durante todo o trajeto (Vx = Vox), essa é uma característica comum a todos os lançamentos oblíquos gravitacionais de alcance curto (que não sejam mísseis/balísticos intercontinentais).
Vox = Vo . cos 60º
Vox = 60 . 1/2
Vox = 30 m/s
Voy = Vo. sen 60º
Voy = 60 . √3/2
Voy = 30√3 m/s
Considerando a aceleração da gravidade sendo g = 10 m/s², pode-se obter o tempo de subida, ou seja, até o ponto máximo de altura onde a componente de velocidade vertical se torna nula (Vy = 0):
Vy = Voy - g . t
0 = 30√3 - 10 . t
10 . t = 30√3
t = 3√3 s
A partir desse momento, o projétil começa a cair em trajetória parabólica decrescente, a altura máxima alcançada nesse ponto foi de:
H = Ho + Voy . t - (1/2) g . t²
H = 200 + 30√3 . 3√3 - (1/2) . 10 . (3√3)²
H = 200 + 270 - 5 . 27
H = 470 - 135
H = 335 m --> acima do nível do solo
O tempo de queda, deste ponto de altura máxima (335 m) até o choque com o solo (0 m) vale:
S = So + Voy . t + (1/2) g . t²
335 = 0 + 0 . t + (1/2) 10 . t²
335 = 5 . t²
t² = 67
t = √67 s
Logo, o tempo total (subida + descida) vale T = (3√3 + √67) segundos. De posse do tempo total do movimento, fica fácil calcular o alcance horizontal:
S = So + Vox. T
S = 0 + 30 . (3√3 + √67)
S = 401,445 m
Assim, o projétil cai aproximadamente no ponto de coordenadas (401,445 ; 0), considerando que ele partiu do ponto de coordenadas (0 ; 200).
A velocidade inicial de 60 m/s deve ser decomposta em velocidade inicial horizontal (Vox) e velocidade inicial vertical (Voy), sendo que a velocidade horizontal se mantém constante durante todo o trajeto (Vx = Vox), essa é uma característica comum a todos os lançamentos oblíquos gravitacionais de alcance curto (que não sejam mísseis/balísticos intercontinentais).
Vox = Vo . cos 60º
Vox = 60 . 1/2
Vox = 30 m/s
Voy = Vo. sen 60º
Voy = 60 . √3/2
Voy = 30√3 m/s
Considerando a aceleração da gravidade sendo g = 10 m/s², pode-se obter o tempo de subida, ou seja, até o ponto máximo de altura onde a componente de velocidade vertical se torna nula (Vy = 0):
Vy = Voy - g . t
0 = 30√3 - 10 . t
10 . t = 30√3
t = 3√3 s
A partir desse momento, o projétil começa a cair em trajetória parabólica decrescente, a altura máxima alcançada nesse ponto foi de:
H = Ho + Voy . t - (1/2) g . t²
H = 200 + 30√3 . 3√3 - (1/2) . 10 . (3√3)²
H = 200 + 270 - 5 . 27
H = 470 - 135
H = 335 m --> acima do nível do solo
O tempo de queda, deste ponto de altura máxima (335 m) até o choque com o solo (0 m) vale:
S = So + Voy . t + (1/2) g . t²
335 = 0 + 0 . t + (1/2) 10 . t²
335 = 5 . t²
t² = 67
t = √67 s
Logo, o tempo total (subida + descida) vale T = (3√3 + √67) segundos. De posse do tempo total do movimento, fica fácil calcular o alcance horizontal:
S = So + Vox. T
S = 0 + 30 . (3√3 + √67)
S = 401,445 m
Assim, o projétil cai aproximadamente no ponto de coordenadas (401,445 ; 0), considerando que ele partiu do ponto de coordenadas (0 ; 200).
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