Question

Um projétil lançado para cima com ângulo de tiro 60° tem velocidade de 30√3 m/s no ponto culminante de sua trajetória. Dado g= 10m/s, calcule:
a. A velocidade de lançamento V⁰ do projétil;
b. As componentes horizontal e vertical da velocidade de inicial do corpo;
c. A equação da velocidade para o movimento vertical do corpo;
d. O instante em que o corpo atinge o ponto mais alto da trajetória;
e. A altura máxima atingida pelo corpo;
f. O tempo de queda do corpo;
g. O tempo de voo do corpo;
h. O alcance do corpo;

Answer 1

O movimento oblíquo é  o lançamento cuja trajetória é parabólica.

O movimento de um projétil ocorre em duas dimensões: vertical e horizontal.

Movimento vertical (MUV):

$\displaystyle \sf V_{0_y} = V_0 \cdot sin{\: \theta}$

$\displaystyle \sf V_y = V_{0_y} + g\cdot t$

$\displaystyle \sf V_y^2 = V_{0_y}^2 + 2 \cdot g \cdot Y$

$\displaystyle \sf Y = V_{0_y} \cdot t + \dfrac{g \cdot t^2}{2}$

Altura Máxima:

$\displaystyle \sf H_{\sf max} = \dfrac{V_0^2 \cdot \sin^2 {\theta}}{2 \cdot g}$

Tempo de Subida (para atingir a altura máxima):

$\displaystyle \sf t_{\sf subida} = \dfrac{V_0 \cdot \sin{\theta}}{g}$

O Tempo Total (para subir e descer):

$\displaystyle \sf t_{\sf total} = \dfrac{V_0 \cdot \sin{\theta}}{2 \cdot g}$

Movimento horizontal (MU):

$\displaystyle \sf V_x = V_0 \cdot \cos{\theta}$

$\displaystyle \sf X = V_x \cdot t$

Alcance (A):

$\displaystyle \sf A = \dfrac{V_0^2 \cdot \sin{\:2\theta}}{g}$

$\displaystyle \sf A = V_0 \cdot \cos{\theta} \cdot t_{total}$

Usando os dados do enunciado, temos:

$\displaystyle \sf Dados: \begin{cases} \sf \theta = 60^\circ \\ \sf V_x = 30 \sqrt{3} \: m/s \\ \sf g = 10\: m/s^2 \end{cases}$

a)

Ponto culminante (mais alto) a componente vertical:

$\displaystyle \sf V_y = 0$

$\displaystyle \sf V_x = V_0 \cdot \cos{\theta}$

$\displaystyle \sf V_0 = \dfrac{Vx }{ \cos{\;\theta}}$

$\displaystyle \sf V_0 = \dfrac{30\sqrt{3} }{ \cos{\;\theta}}$

$\displaystyle \sf V_0 = \dfrac{30\sqrt{3} }{ 0,5}$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf V _0 = 60\sqrt{3} \: m/s }}}$

b)

Na horizontal:

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf V_x = 30\sqrt{3} \: m/s }}}$

Na vertical:

$\displaystyle \sf V_{0_y} = V_0 \cdot \sin{ \theta}$

$\displaystyle \sf V_{0_y} = 60\sqrt{3} \cdot \sin{ 60^\circ}$

$\displaystyle \sf V_{0_y} = 60\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2}$

$\displaystyle \sf V_{0_y} = \dfrac{60\sqrt{9} }{2}$

$\displaystyle \sf V_{0_y} = 30 \times 3$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf V_{0_y} = 90\: m/s }}}$

c)

$\boxed{ \boxed {\displaystyle \sf V_y = V_{0_y} + g\cdot t }}$

d)

$\displaystyle \sf t_{\sf subida} = \dfrac{V_0 \cdot \sin{\theta}}{g}$

$\displaystyle \sf t_{\sf subida} = \dfrac{60\sqrt{3} \cdot \sin{60^\circ}}{10}$

$\displaystyle \sf t_{\sf subida} =6\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2}$

$\displaystyle \sf t_{\sf subida} = 3 \sqrt{9}$

$\displaystyle \sf t_{\sf subida} = 3 \times 3$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf t _{subida} = 9 \: s }}}$

e)

$\displaystyle \sf H_{\sf max} = \dfrac{V_0^2 \cdot \sin^2 {\theta}}{2 \cdot g}$

$\displaystyle \sf H_{\sf max} = \dfrac{(30\sqrt{3}) ^2 \cdot \sin^2 {60^\circ}}{2 \cdot 10}$

$\displaystyle \sf H_{\sf max} = \dfrac{ 900 \times 3 \cdot \left (\dfrac{\sqrt{3} }{2} \right)^2}{2 0}$

$\displaystyle \sf H_{\sf max} = \dfrac{ 2700 \cdot \left (\dfrac{3}{4} \right)}{2 0}$

$\displaystyle \sf H_{\sf max} = \dfrac{ 675 \cdot3}{2 0}$

$\displaystyle \sf H_{\sf max} = \dfrac{ 2025}{2 0}$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf H _{max} = 101, 25\: m }}}$

f)

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf t_{descida} = t _{subida} = 9 \: s }}}$

g)

$\displaystyle \sf t_{ total} = 2 \cdot t_{subida}$

$\displaystyle \sf t_{ total} = 2 \cdot 9$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf t_{total} = 18 \: s }}}$

h)

$\displaystyle \sf A = V_0 \cdot \cos{\theta} \cdot t_{total}$

$\displaystyle \sf A = 60\sqrt{3} \cdot \cos{60^\circ} \cdot 9$

$\displaystyle \sf A = 60\sqrt{3} \times 0,5\times 9$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf A = 270\sqrt{3} \: m }}}$

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