Question

Um projétil foi atirado de um canhão a uma velocidade de 120 m/s, atingindo o solo plano a uma distância de 720√3 metros do local do disparo. Para que essa distância alcançada fosse a maior possível, o ângulo entre o cano do canhão e o solo deveria ser:
(desconsidere as dimensões do canhão e qualquer forma de atrito)

a) maior em 30°
b) maior em 15°
c) menor em 30°
d) menor em 15°
e) o mesmo, pois a maior distância horizontal já foi alcançada.

Answer 1

• A resposta é a alternativa b)

Explicação:

   O canhão foi posicionado com uma inclinação até então desconhecida, então vamos chamá-la de θ. A velocidade com a qual o projétil deixou o canhão foi de 120 metros por segundo. Como estamos falando de balística e de um lançamento oblíquo, devemos decompor essa velocidade em duas: uma vertical, que caracteriza um M.R.U.V (possui aceleração diferente de zero, no caso é a da gravidade), e uma horizontal, que caracteriza um M.R.U (a velocidade horizontal nunca muda, uma vez que a resistência do ar não está sendo considerada).

Vamos decompor as velocidades:

• Vx = Vo . cosθ

• Vy = Vo . senθ

Agora, vamos achar o tempo de subida Ts do projétil (do momento do disparo até ele alcançar a altura máxima):

V = Vo + a.Ts

Como a velocidade vertical no momento final (quando estiver no ponto mais alto) será zero, substituiremos V por 0. A aceleração será substituída por g, e a velocidade inicial por Vy:

(note que a aceleração da gravidade ganha o sinal negativo, pois ela é no sentido oposto ao da velocidade vertical)

$0 = Vy - g \cdot Ts\\\\Ts = \dfrac{Vy}{g} = \dfrac{Vo \cdot sen \theta}{g}$

Como o tempo de subida é igual ao tempo de descida, o tempo total será igual ao dobro do tempo de subida.

$T = 2 \cdot Ts = \dfrac{2 \cdot Vo \cdot sen \theta}{g}$

Vamos usar o valor do tempo total de voo na equação horária do M.R.U na direção x:

$\boxed{x(t) = x_o + V \cdot T}\\\\\\720 \sqrt{3} = 0 + Vx \cdot \dfrac{2 \cdot Vo \cdot sen \theta}{g}\\\\\\720 \sqrt{3} = \dfrac{Vx \cdot 2 \cdot Vo \cdot sen \theta}{g}\\\\\\720 \sqrt{3} = \dfrac{Vo \cdot cos \theta \cdot 2 \cdot Vo \cdot sen \theta}{g}\\\\\\720 \sqrt{3} = \dfrac{Vo^2 \cdot 2 \cdot sen \theta \cdot cos \theta}{g}\\\\\\720 \sqrt{3} = \dfrac{Vo^2 \cdot sen (2\theta)}{g}$

Vamos substituir Vo por 120 m/s. O enunciado não nos informa a aceleração da gravidade, mas vamos adotar como 10 m/s². É o jeito para acharmos o valor de θ.

$720 \sqrt{3} = \dfrac{120^2 \cdot sen (2\theta)}{10}\\\\\\720 \sqrt{3} = \dfrac{1440 \cdot sen (2\theta)}{1}\\\\\\\dfrac{720 \sqrt{3}}{1440} =sen (2\theta)\\\\\\\dfrac{\sqrt{3}}{2} =sen (2\theta)$

É essencial saber que √3/2 é o seno de 60°. Sendo assim, 2θ = 60° ∴ θ = 30°.

Máximo alcance horizontal:

   É preciso saber que o alcance máximo horizontal sempre ocorrerá a um ângulo de 45°. Se descobrimos que o canhão tinha uma inclinação de 30°, então ele precisaria de um ângulo maior em 15° para ter os 45° necessários.

   Dessa forma, a alternativa correta para a questão é a alternativa b).