Question

um projétil é lançado sob um ângulo a (cos a = 0,8 e sen a = 0,6) com a horizontal, tendo um alcance de 800m no mesmo nível de lançamento. Use g= 10 m/s2. Calcule máxima altura que esse projétil consegue atingir ​

Answer 1

⠀  

⠀⠀☞ Através da simetria do lançamento, das funções horárias da posição e da velocidade e também da equação de Torricelli encontramos que a altura máxima do projétil será de aproximadamente 150 metros.✅  

⠀  

⠀  

⠀⠀Vamos inicialmente decompor o vetor velocidade:

⠀

⠀

$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(2,1){3}}\put(0,0){\circle{2}}\bezier{30}(0,0)(2,0)(4,0)\put(1,0.1){\large \sf a }\put(1,1){\LARGE \overrightarrow{\sf v} }\end{picture}$

⠀

$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )  

⠀

⠀

$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(2,1){3}}\put(0,0){\circle{2}}\bezier{30}(0,0)(2,0)(4,0)\put(1,0.1){\large \sf a }\put(1,1){\LARGE \overrightarrow{\sf v} }\put(3,0){\vector(0,1){1.5}}\put(0,0){\vector(1,0){3}}\put(1.3,-0.7){\LARGE \overrightarrow{\sf v_x} }\put(3.3,0.5){\LARGE \overrightarrow{\sf v_y} }\put(6,1){\dashbox{0.1}(4,1){\Large \sf \overrightarrow{\sf v_x} = cos(a) \cdot \overrightarrow{\sf v} }}\put(6,-1){\dashbox{0.1}(4,1){\Large \sf \overrightarrow{\sf v_y} = sen(a) \cdot \overrightarrow{\sf v} }}\end{picture}$

⠀

$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

⠀

⠀

• Vx = v * cos(a) = 0,8v

⠀

• Vy = v * sen(a) = 0,6v

⠀

⠀⠀Vamos encontrar qual é o instante em que o projétil atinge o solo 800m depois do lançamento através da função horária da posição (também chamada de Fórmula do Sorvetão) no eixo horizontal:

⠀

$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf S(t) = S_0 + V_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$  

⠀

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{\sf S(t)}}$ sendo a posição do objeto no instante t [m];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf S_0 }}$ sendo a posição inicial do objeto [m];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf V_0 }}$ sendo a velocidade inicial do objeto [m/s];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{t}}$ sendo o instante analisado [s];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{a}}$ sendo a aceleração do objeto [m/s²]  

⠀

$\Large\blue{\sf 800 = 0 + 0,8v \cdot t_x + \dfrac{0 \cdot t_x^2}{2} }$  

⠀

$\LARGE\blue{\sf t_x = \dfrac{800}{0,8v} = \dfrac{1.000}{v}}$

⠀

⠀⠀Lembrando que a velocidade vertical na altura máxima será igual a zero (pois é o momento em que o projétil para de subir e começa a descer) então podemos encontrar o instante em que o projétil alcança a altura máxima através da função horária da velocidade:

⠀

$\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf V(t) = V_0 + a \cdot t }&\\&&\\\end{array}}}}}$  

⠀

$\LARGE\blue{\sf 0 = 0,6 \cdot v - 10 \cdot t_y }$

⠀

• *(a aceleração adquire valor negativo pois adotamos inicialmente que o deslocamento positivo é para cima)

⠀

$\LARGE\blue{\sf 10 \cdot t_y = 0,6 \cdot v }$

⠀

$\LARGE\blue{\sf t_y = 0,06 \cdot v }$

⠀

⠀⠀Analisando a simetria da trajetória do projétil extraímos que este alcançará sua altura máxima na metade do tempo que ele leva para atingir o solo:

⠀

$\LARGE\blue{\sf t_y = \dfrac{t_x}{2}}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf 0,06 \cdot v = \dfrac{1.000}{v \cdot 2}}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf v^2 = 8.333,\overline{3}}$

⠀

$\LARGE\blue{\text{ \sf \sqrt{v^2} = \sqrt{8.333,\overline{3}} }}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf v \approx 91,29~m/s}$

⠀

⠀⠀Finalmente com o valor da velocidade temos pela equação de Torricelli que:

⠀

$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf v(s)^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta s}&\\&&\\\end{array}}}}}$  

⠀  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf \Delta s }}$ sendo a distância percorrida [m].  

⠀

$\Large\blue{\sf 0^2 \approx (0,6 \cdot 91,29)^2 - 2 \cdot 10 \cdot \Delta s}$  

⠀

$\LARGE\blue{\sf 0 \approx 3.000 - 20 \cdot \Delta s}$

⠀

$\LARGE\blue{\sf \Delta s \approx \dfrac{-3.000}{-20} \approx 150~m}$  

⠀  

⠀  

$\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{h_{max}}~\pink{\approx}~\blue{150~m }~~~}}$ ✅  

⠀

✋ E se a bola não atingisse o solo na mesma altura que foi lançada, será que conseguiríamos ter resolvido este exercício?

⠀

⠀  

⠀  

⠀  

_________________________________

⠀⠀☀️ Leia mais sobre:  

⠀  

⠀⠀✈ Balística de canhão (https://brainly.com.br/tarefa/38244927)

⠀⠀✈ Balística de bola (https://brainly.com.br/tarefa/38231934)

⠀⠀✈ Balística de bola (https://brainly.com.br/tarefa/38285320)

_______________________________✍

⠀

⠀

⠀

⠀

_______________________________☁

⠀⠀⠀⠀☕ Bons estudos.

(Dúvidas nos comentários) ☄

__________________________$\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

⠀

⠀

⠀

⠀

Absque sudore et labore nullum opus perfectum est.