Question

Um projétil é lançado por um canhão e atinge o solo a uma distância de 150 metros do ponto de partida. Ele percorre uma trajetória parabólica, e a altura máxima que atinge em relação ao solo é de 25 metros.

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Admita um sistema de coordenadas xy em que no eixo vertical y está representada a altura e no eixo horizontal x está representada a distância, ambas em metro. Considere que o canhão está no ponto (150; 0) e que o projétil atinge o solo no ponto (0; 0) do plano xy.

A equação da parábola que representa a trajetória descrita pelo projétil é

a) y = 150x - x2
b) y = 3 750x - 25x2
c) 75y = 300x - 2x2
d) 125y = 450x - 3x2
e) 225y = 150x - x2

Answer 1

Resposta:

Alternativa e)

Explicação passo-a-passo:

A função do 2o grau pode ser escrita por:

f(x)=k(x-m)(x-n)=0, onde m e n são as raízes da equação e k ∈ Z.

Do enunciado temos que as raízes são (0,0) e (150,0), então:

m=150 e n=0, substituindo em k(x-m)(x-n)=0 temos:

f(x)=k(x-150)(x-0)=k(x-150)(x)=kx²-150kx

O vértice da função do 2o grau é:

V(-b/2a;-Δ/4a)

Do enunciado:

-Δ/4a = 25 => (b^2-4ac)/4a = -25, substituindo a=k, b= -150k e c=0 da equação anteriormente determinada f(x)=kx²-150kx

((-150k)²-4(k)(0))/4k= -25 => 22500k²/4k = -25 => k= -1/225

Substituindo o  k= -1/225 na equação f(x)=kx²-150kx

f(x)= -1/225x²-150(-1/225)x

f(x) = y = -1/225x²-150(-1/225)x

225y= -x²+150x

225y=150x-x²

Answer 2

A equação da parábola que representa a trajetória descrita pelo projétil é 225y = -x² + 150x.

Uma função do segundo grau é da forma y = ax² + bx + c, sendo a ≠ 0.

As coordenadas do vértice da parábola são iguais a $x_v = -\frac{b}{2a}$ e $yv = -\frac{\Delta}{4a}$.

Perceba que o ponto máximo da parábola é o ponto (75,25).

Sendo assim, temos que:

75 = -b/2a

-b = 2a.75

-b = 150a

b = -150a.

Além disso, a parábola passa pelos pontos (0,0), (75,25) e (150,0). Sendo assim:

a.0² + b.0 + c = 0

c = 0

e

a.150² + b.150 + c = 0

22500a + 150b = 0

e

a.75² + b.75 + c = 25

5625a + 75b = 25.

Substituindo o valor de b = -150a na terceira equação acima, obtemos:

5625a + 75.(-150a) = 25

5625a - 11250a = 25

-5625a = 25

a = -1/225.

Consequentemente:

b = -150.(-1/225)

b = 150/225

b = 2/3.

Portanto, a equação da parábola é igual a:

y = -x²/225 + 2x/3

225y = -x² + 150x.

Alternativa correta: letra e).

Exercício sobre parábola: https://brainly.com.br/tarefa/18653154