Question

Um projétil é lançado horizontalmente da altura de 405 m com velocidade de 30m/s. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10m/s2. A partir deste enunciado responda as questões de 1 a 3
1. O projétil demora quanto tempo para atingir o solo? *

2. A que distância da vertical que passa pelo projétil no instante o projétil atinge o solo? *

3. O valor mais aproximado com que velocidade o projétil atinge o solo? *

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ 1. 9 segundos para atingir o solo; 2. 270 metros de distância horizontal até atingir o solo; 3. aproximadamente 95 [m/s]. ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Sabemos que no momento inicial há somente uma força agindo sobre este projétil: a força peso, força esta que age somente no sentido vertical. Durante todo o trajeto sua velocidade no sentido horizontal será constante.

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• 1. Para encontrar o tempo que este projétil leva para atingir o solo iremos utilizar da função horária da posição (também chamada de fórmula do sorvetão) no eixo vertical, função esta que é da forma:

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                              $\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf S(t) = S_0 + V_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf S(t) }}$ sendo a posição do objeto no instante de tempo t [m];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf S_0 }}$ sendo a posição inicial do objeto [m];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf V }}$ sendo a velocidade do objeto [m/s];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf t }}$ sendo o instante de tempo analisado [s];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{a}}$ sendo a aceleração do objeto [m/s²].

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⠀⠀⠀➡️⠀Sendo assim temos:

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$\LARGE\blue{\sf 405 = 0 + 0 \cdot t + \dfrac{10 \cdot t^2}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf 405 = 5 \cdot t^2}$

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$\LARGE\blue{\sf t^2 = \dfrac{405}{5}}$

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$\LARGE\blue{\sf t^2 = 81}$

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$\LARGE\blue{\sf \sqrt{t^2} = \pm \sqrt{81}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Como só estamos interessados na solução positiva então:

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                                      $\qquad\huge\green{\boxed{\rm~~~\red{1.}~\gray{t}~\pink{=}~\blue{ 9~[s]}~~~}}$ ✅

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• 2. Como a velocidade no eixo horizontal é sempre constante então podemos utilizar a função horária da posição (para MRU) que é da forma:

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                                       $\qquad\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf S(t) = S_0 + V \cdot t}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Sendo assim temos:

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$\LARGE\blue{\sf S = 0 + 30 \cdot 9}$

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                                  $\huge\green{\boxed{\rm~~~\red{2.}~\gray{s}~\pink{=}~\blue{270~[m]}~~~}}$ ✅

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• 3. No instante que o projétil atinge o solo ele terá duas velocidades: uma vertical e outra horizontal. Para encontrarmos sua velocidade vertical ao atingir o solo podemos utilizar a função horária da velocidade, que é da forma:

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                                      $\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf V(t) = V_0 + a \cdot t }&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf V_0 }}$ sendo a velocidade do objeto no instante de tempo t [m/s];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf V_0 }}$ sendo a velocidade inicial do objeto [m/s];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{a}}$ sendo a aceleração do objeto [m/s²];

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{t}}$ sendo o instante de tempo analisado [s].

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⠀⠀⠀➡️⠀Sendo assim temos:

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$\LARGE\blue{\sf V(t) = 0 + 10 \cdot 9 = 90~[m/s]}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Para encontrarmos sua velocidade total devemos fazer uma soma vetorial. Neste caso em que os vetores são perpendiculares podemos utilizar diretamente o teorema de Pitágoras para encontrar o vetor resultante:

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                                      $\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\vec{\sf v} = \sqrt{\vec{\sf v_x}^2 + \vec{\sf v_y}^2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Sendo assim temos:

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$\LARGE\blue{\vec{\sf v} = \sqrt{30^2 + 90^2}}$

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$\LARGE\blue{\vec{\sf v} = \sqrt{900 + 8.100}}$

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$\LARGE\blue{\vec{\sf v} = \sqrt{9.000}}$

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$\LARGE\blue{\vec{\sf v} = \sqrt{9 \cdot 100 \cdot 10}}$

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$\LARGE\blue{\vec{\sf v} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{10}}$

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$\LARGE\blue{\vec{\sf v} = 3 \cdot 10 \cdot \sqrt{10}}$

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                             $\LARGE\green{\boxed{~~~\red{\rm 3.}~\gray{\vec{\rm v}}~\pink{=}~\blue{\rm 30 \cdot \sqrt{10}~[m/s]}~~~}}$ ✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre funções horárias:

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$⠀☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

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                                                          $\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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