Question

Um projétil é lançado e descreve uma curva segundo a lei h(t) = – 6 + 5t – t
2
, com h em metro e t
em segundo. Determine os intervalos de tempo em que o projétil está subindo e descendo
respectivamente.

Answer 1

Resposta:

De $0\leq t\leq 2.5$ segundos o objeto está subindo;

De $t > 2.5$ segundos o objeto está descendo.

Explicação passo a passo:

Note que a trajetória do projétil é uma parábola, pois ela é descrita por uma função de segundo grau.

$h(t) = - 6 + 5t - t^2$

Note que o coeficiente $a$, que multiplica a variável $x^2$, é negativo ($-1$). Portanto, a concavidade é voltada para baixo e a função tem um ponto de máximo - ou seja, o maior valor que ela pode assumir.

Calculando as raízes dessa função, teremos:

$\Delta = 5^2-4\cdot(-1)\cdot(-6)\\\\\Delta = 25 - 24\\\\\Delta = 1$

$t = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2\cdot(-1)}\\\\t'=\frac{-5-1}{-2}=\frac{-6}{-2}=3\\\\t''=\frac{-5+1}{-2}=\frac{-4}{-2}=2$

Como em uma parábola o vértice é um ponto do eixo de simetria, temos que a abscissa do vértice pode ser obtida pela média aritmética de suas raízes ou pela fórmula da abscissa da vértice:

$V_x = \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2}=2.5$

ou, pela fórmula da abscissa da vértice:

$V_{x}=-\frac{5}{2\cdot(-1)}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}=2.5$

Daí, temos:

De $0\leq t\leq 2.5$ segundos o objeto está subindo;

De $t > 2.5$ segundos o objeto está descendo.

Figura em anexo para descrever a trajetória do projétil.