Question

Um projétil é lançado do solo sob um ângulo de 30º com a horizontal e com velocidade inicial de 60m/s, considerar g=10 m/s² cos 30 = 0,8 e sen 30 = 0,5, calcule o alcance do objeto:

Answer 1

O movimento horizontal é retilíneo e uniforme então o alcance A é dado por:

$S = S_o +v\cdot t$

$A = V_x \cdot t$

Claro, considerando que o objeto parte das origens ( $S_o = 0$ ). O tempo $t$ é o tempo decorrido durante o trajeto (Até ele cair no chão).

Agora o movimento vertical é uniformemente variado (Temos a atuação da gravidade, que acelera o corpo). A fórmula que utilizaremos para encontrar o tempo decorrido até ele cair é:

$S = S_o +V_y\cdot t +\dfrac{a\cdot t^2}{2}$

Considerando que ele parte da origem, ponto (0,0), podemos afirmar que $S_o = 0$. Queremos achar o momento que o corpo cai no chão novamente $S = 0$. Então:

$0 = 0 +V_y\cdot t + \dfrac{a\cdot t^2}{2}$

$0 =V_y\cdot t + \dfrac{a\cdot t^2}{2}$

Colocando t em evidência:

$t\cdot(V_y +\dfrac{a\cdot t}{2}) = 0$

Bom, esta equação tem uma solução trivial, que é zero. O objeto parte da origem (0,0) quando t=0, então é lógico afirmar que 0 é uma das soluções. Procuramos a outra solução:

$V_y +\dfrac{a\cdot t}{2} = 0$

$t = -\dfrac{2\cdot V_y}{a}$

Como a aceleração é a aceleração da gravidade:

$t = -\dfrac{2\cdot V_y}{g}$

Substituindo na equação do alcance:

$A = V_x \cdot t$

$A =- V_x \cdot\dfrac{2\cdot V_y}{g}$

$A =-\dfrac{2\cdot V_x\cdot V_y}{g}$

Sabemos que:

$V_x = V_o\cdot\cos \alpha$

E que:

$V_y = V_o \cdot \sin\alpha$

Substituindo:

$A =-\dfrac{2\cdot V_x\cdot V_y}{g}$

$A =-\dfrac{2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha\cdot V_o^2}{g}$

Pela identidade trigonométrica:

$\sin 2\alpha = 2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha$

Temos que:

$A =-\dfrac{\sin2\alpha\cdot V_o^2}{g}$

Substituindo os valores da questão:

$A = -\dfrac{\sin 60 \cdot (60)^2}{-10}$

$A = \dfrac{\frac{8}{10}\cdot36\cdot10^2}{10}$

$A = 8\cdot36$

$\boxed{A = 288\text{m}}$