Question

Um projétil é lançado a partir do solo desenvolvendo uma trajetória parabólica conforme indicado na figura abaixo. Sabendo que P = 1333, determine a altura máxima alcançada pelo projétil. Dê sua resposta com duas casas decimais.

(Imagem)

Answer 1

Resposta:

Altura máxima = 671,41 m

Explicação passo a passo:

A altura máxima corresponde a coordenada y do vértice dessa parábola.

A lei de formação geral da parábola é   y = ax² +bx + c

Parte 1. Utilizar os pontos conhecidos para cálcular os coeficientes a, b e c.

Ponto (0 , 0):  Esse ponto indica que c = 0  (É imediato)

0 = a·0 + b·0 + c      ∴    c = 0

Ponto (10 , 20)

20 = a·10² + b·10

20 = 100a + 10b     (I)

Ponto (1333, 0)      

0 = a·1333² + b·1333

0 = 1 776 889a + 1333b    (II)

Parte 2: Resolver o sistema para encontrar a e b

Isolar o b na equação I

100a + 10b = 20

10b = 20 - 100a

b = (20 - 100a)/10

b = 2 - 10a        Substitui na equação II

1 776 889a + 1333b = 0

1 776 889a + 1333 (2 - 10a) = 0

1776 889a - 13 330a + 2666 = 0

1 763 559a = -2666

a = -2666/1 763 559

a ≅ - 0,001512       Substitui na equação I para encontrar o b

b = 2 - 10a

b = 2 - 10· (-0,001512)

b = 2 + 0,01512

b = 2,01512

Parte 3  Calcular o  Δ

Δ = b²-4·a·c

Δ = 2,01512² - 4 · (-0,001512) · 0

Δ = 4,061

Parte 4  Calcular a coordenada y do vértice. Essa é a altura máxima.

yv = -Δ/4·a

yv = - 4,061 / 4 · (-0,001512)

yv ≅ 671,4116 m

O enunciado pede com duas casas decimais.

yv = 671,41 m      Essa é a altura máxima.

Answer 2

✅ Depois de ter resolvido os cálculos, concluímos que a altura máxima do lançamento do projétil que descreve uma trajetória parabólica foi:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf h = 671,54\:m\:\:\:}} \end{gathered} }$

Observando o gráfico verificamos que o mesmo possui três pontos notáveis que são:

                   $\Large\begin{cases}A(0, 0)\\B(10, 20)\\C(1333, 0) \end{cases}$

Lembrando que toda equação do segundo grau pode ser montada da seguinte forma:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} ax^{2} + bx + c = 0 \end{gathered}$

Desta forma a função do segundo grau será:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = ax^{2} + bx + c \end{gathered}$

Se:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = y \end{gathered}$

Então:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}y = ax^{2} + bx + c \end{gathered}$

Já que teremos que trabalhar com um sistema de equações, então podemos utilizar a função na seguinte forma:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}ax^{2} + bx + c = y \end{gathered}$

A partir de agora, podemos montar o seguinte sistema de equações:

1º        $\Large\begin{cases}a\cdot0^{2} + b\cdot0 + c = 0\\a\cdot10^{2} + b\cdot10 + c = 20\\a\cdot1333^{2} + b1333 + c = 0 \end{cases}$

O que resultará:

           $\Large\begin{cases} a\cdot0 + b\cdot 0 + c = 0\\a\cdot100 + b\cdot10 + c = 20\\a\cdot1776889 + b\cdot1333 + c = 0 \end{cases}$

Prosseguindo, temos:

           $\Large\begin{cases} c = 0\\100a + 10b + c = 20\\1776889a + 1333b + c = 0\end{cases}$

Substituindo o valor de "c" nas duas últimas equações, teremos:

            $\Large\begin{cases}100a + 10b + 0 = 20\\1776889a + 1333b + 0 = 0 \end{cases}$

Então:

2º          $\Large\begin{cases}100a + 10b = 20\\1776889a + 1333b = 0 \end{cases}$

Agora devemos resolver este último sistema. Para isso, fazemos:

• Isolando "b" na 1ª equação do 2º sistema, temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}10b = 20 - 100a \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}b = \frac{20 - 100a}{10} \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}b = \frac{20}{10} - \frac{100a}{10} \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}b = 2 - 10a \end{gathered}$

                   

• Substituindo o valor de "b" na 2ª equação do 2º sistema, temos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}1776889a + 1333(2 - 10a) = 0 \end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}1776889a + 2666 - 13330a = 0 \end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}1776889a - 13330a = -2666 \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1763559a= -2666 \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}a = -\frac{2666}{1763559} \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}a = -0,0015117158 \end{gathered}$

• Obtendo o valor de "b", temos:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}b = 2 - 10a \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 2 - 10\cdot(-0,0015117158) \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 2 + 0,015117158 \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 2,015117158 \end{gathered}$

Então os possíveis coeficientes da função são:

               $\Large\begin{cases}a = -0,0015117158\\b = 2,015117158\\c = 0 \end{cases}$

Desta forma chegamos à seguinte função:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = -0,0015117158x^{2} + 2,015117158x \end{gathered}$

Como querendo a altura máxima "h" do lançamento, então, devemos calcular a ordenada do vértice da parábola, ou seja:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}Y_{V} = -\frac{(b^{2} - 4\cdot a\cdot c)}{4\cdot a} \end{gathered} }$

Se c = 0, então:

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}Y_{V} = -\frac{b^{2}}{4\cdot a} \end{gathered} }$

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= -\frac{(2,015117158)^{2}}{4\cdot(-0,0015117158)} \end{gathered} }$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{-4,0606971605}{-0,0060468632} \end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 671,54\:m \end{gathered}$

✅ Portanto, a altura é:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}h = 671,54\:m \end{gathered}$      

 

Saiba mais:

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