um projétil e disparado com velocidade de transporte600m/s , num ângulo de 60 graus. a. calcular o alcance horizontal b. altura máxima, c. a velocidade e a altura 3,0s após o disparo, e d. a velocidade e o tempo decorrido quando o projétil está a velocidade10km de altura.
por favor se alguém souber me responda com detalhes dois estou confuso . valeu
Soluções para a tarefa
Dados do problema:
v0 = 600m/s
a = 60°
g = 9,8m/s²
a. Alcance horizontal
O alcance horizontal do projétil é a distância total percorrida por ele e pode ser calculado a partir da fórmula:
x(t) = v0*tv*cos(a) <EQ. I>
Onde:
x(t) = alcance horizontal
v0 = velocidade de transporte
tv = tempo de vôo
a = ângulo de lançamento
Neste caso:
x(t) = ?
v0 = 600m/s
tv = ?
a = 60°
Como não é dado o tempo de vôo, este pode ser calculado a partir da fórmula de alcance vertical:
y(t) = v0*t*sen(a) – g*t²/2 <EQ. II>
Onde:
y(t) = altura do projétil
v0 = velocidade de transporte
t = tempo de vôo
a = ângulo de lançamento
g = gravidade
Igualando esta equação a zero, vamos obter dois resultados para t: um indicará o tempo do lançamento e o outro indicará o tempo de vôo total.
y(t) = v0*tv*sen(a) – g*tv²/2
0 = 600*tv*sen(60) – 9,8*tv²/2
600*√3/2*tv – 4,9*tv² = 0
4,9tv² - 519,6tv = 0
tv(4,9tv – 519,6) = 0
tv = 0 (lançamento)
4,9tv – 519,6 = 0
4,9tv = 519,6
tv = 519,6/4,9
tv = 106s (final)
Substituindo o valor encontrado de tv na EQ. I:
x(t) = v0*tv*cos(a)
x(t) = 600*106*cos(60)
x(t) = 63.600*1/2
x(t) = 31.800m
RESPOSTA: O alcance horizontal do projétil é de 31.800m ou 31,8km.
b. Altura máxima
Sabe-se, por definição, que a altura máxima alcançada por um projétil se dá exatamente na metade do tempo de vôo.
Portanto, para calcular a altura máxima, vamos utilizar a EQ. II, dada anteriormente:
y(t) = ?
v0 = 600m/s
t = tv/2 = 106/2 = 53s
a = 60°
g = 9,8m/s²
y(t) = v0*t*sen(a) – g*t²/2
y(t) = 600*53*sen(60) – 9,8*53²/2
y(t) = 31.800*√3/2 – 13.764,1
y(t) = 27.539,6 – 13.764,1
y(t) = 13.775,5m
RESPOSTA: A altura máxima que o projétil alcança é de 13.775,5m ou 13,78km.
c. Velocidade e altura após 3s:
A velocidade após certo tempo pode ser calculada através da fórmula:
v = vx + vy <EQ. III>
Onde:
v = velocidade resultante
vx = velocidade horizontal (constante)
vy = velocidade vertical
vx = v0*cos(a)
vx = 600*cos(60)
vx = 600*1/2
vx = 300m/s
vy(t) = v0*sen(a) – g*t
vy(t) = 600*sen(60) – 9,8*3
vy(t) = 600*√3/2 – 29,4
vy(t) = 519,6 – 29,4
vy(t) = 490,2m/s
Voltando à EQ. III:
v = 300² + 490,2²
v= 90.000 + 240.296
v = 330.296m/s
RESPOSTA: A velocidade do projétil após 3,0s é de 330.296m/s.
d. Velocidade e tempo quando y(t) = 10km:
O primeiro passo para solucionar este problema é calcular o tempo. Para isso, utilizaremos a EQ. II:
y(t) = 10km = 10.000m
v0 = 600m/s
t = ?
a = 60°
g = 9,8m/s²
y(t) = v0*t*sen(a) – g*t²/2
10.000 = 600*t*sen(60) – 9,8*t²/2
10.000 = t*600*√3/2 – 4,9t²
10.000 = 519,6t – 4,9t²
4,9t² - 519,6t + 10.000 = 0
Utilizando a formula de Bhaskara, temos:
x = [-b +- √( b² - 4ac)] / 2a
x = t
a = 4,9
b = -519,6
c = 10.000
t = {-(-519) +- √[(-519)² - 4*4,9*10.000]} / (2*4,9)
t = [519 +- √(269.361 – 196.000)] / 9,8
t = (519 +- √73.361) / 9,8
t = (519 +- 270,8 )/ 9,8
t1 = (519 - 270,8 ) / 9,8
t1 = 248,2 / 9,8
t1 = 25,3s
t2 = (519 + 270,8 ) / 9,8
t2 = 798,8 / 9,8
t2 = 80,6s
O projétil estará a uma altura de 10km duas vezes durante o trajeto, uma vez enquanto sobe até sua altura máxima e outra vez enquanto desce até o plano. Por essa razão foram encontrados dois tempos.
Para o cálculo da velocidade, vamos voltar à EQ. III:
v = vx + vy <EQ. III>
vx foi calculada no item c e é constante:
vx = 300m/s
Serão calculadas duas vy, pois temos dois valores de tempo:
vy(t) = v0*sen(a) – g*t
vy(t1) = 600*sen(60) – 9,8*25,3
vy(t1) = 600*√3/2 – 247,9
vy(t1) = 519,6 – 247,9
vy(t1) = 271,7m/s
vy(t2) = 600*sen(60) – 9,8*80,6
vy(t2) = 600*√3/2 – 789,88
vy(t2) = 519,6 – 789,88
vy(t2) = -270,3m/s (o sinal negativo indica que a velocidade está ocorrendo em direção oposta)
RESPOSTA: O projétil alcança altura de 10km em 25,3s, a uma velocidade de subida de 271,7m/s e, novamente, em 80,6s, a uma velocidade de descida de 270,3m/s.