Question

Um projétil balístico é lançado obliquamente com um ângulo de 30º com a horizontal, com uma velocidade de 50 m/s. Qual é o alcance do projétil? Sen30º = Cos60º = 0,5; Cos30º = Sen60º = 0,85

Answer 1

O alcance do projétil é

                          $\Large\begin{gathered}x = \frac{v_0^2\sin\left(2\theta\right)}{g}\qquad x = 212{,}5\text{m/s}\end{gathered}$

Sabemos que num lançamento oblíquo temos um movimento uniforme na componente horizontal e uniformimente variado na vertical, ou seja, para vertical temos:

                                           $\Large\begin{gathered}S = S_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}\\ \\v = v_0 + at\end{gathered}$

E na horizontal

                                                  $\Large\begin{gathered}S = S_0 + v_0t\\ \\\end{gathered}$

Para não ter confusão vamos nomear algumas variáveis, como a altura inicial é 0, podemos simplificar para

                                                 $\Large\begin{gathered}h = v_{y_0}t - \frac{gt^2}{2}\\ \\v_{y} = v_{y_0} - gt\end{gathered}$

onde h é a altura, g a acaleração da gravidade de vy a velocidade vertical.

Para a horizontal podemos simplificar para

                                                  $\Large\begin{gathered}x = x_0 + v_{x_0}t\\ \\\end{gathered}$

onde x representa a posição na horizontal.

Queremos descobrir qual é o valor de x máximo, ou seja, quando o objeto faz todo seu trajeto e cai, qual a distância percorrida em x? para isso vamos descobrir quanto tempo o objeto fica no ar!

Pela simetria do trajeto sabemos que quando o objeto chega em sua altura máxima corresponde a metade do tempo do trajeto, ou seja, se calculamos esse tempo sabemos que em 2t o objeto terá realizado sua trajetória.

Dito isso, sabemos que na altura máxima a velocidade vertical é nulo, então

                                                $\Large\text{ \begin{gathered}v_{y} = v_{y_0} - gt\\ \\0 = v_{y_0} - gt\\ \\t = \frac{v_{y_0}}{g}\end{gathered} }$

Portanto o tempo máximo que o projétil leva para cair é

                                                     $\Large\text{ \begin{gathered}t = 2\frac{v_{y_0}}g{}\end{gathered} }$

Logo, substituindo t na fórmula da posição na horizontal temos

                                             $\Large\text{ \begin{gathered}x = x_0 + 2\frac{v_{x_0}v_{y_0}}{g}\end{gathered} }$

Sabemos que x_0 = 0, e podemos descobrir as velocidades horizontais e verticais através dos senos e cossenos:

                                                $\Large\begin{gathered}v_{x_0} = v_0\cos \theta\\ \\v_{y_0} = v_0\sin \theta\end{gathered}$

Então substituindo na expressão que tinhamos

                                         $\Large\text{ \begin{gathered}x = 2\frac{v_0\cos\theta v_{0}\sin\theta}{g}\\ \\x = \frac{v_0^2\cdot 2\cos\theta \sin\theta}{g}\\ \\\end{gathered} }$

Se quiser ainda podemos simplificar ainda mais pois temos a seguinte relação trigonométrica

                                        $\Large\begin{gathered}\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta \end{gathered}$

Simplificando o alcance para

                                                $\Large\begin{gathered}x = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}\\ \\\end{gathered}$

Do enunciado sabemos que v_0 = 50m/s e θ = 30º, irei adotar g = 30, portanto

                                         $\Large\begin{gathered}x = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}\\ \\x = \frac{50^2 \sin \left(2\cdot 30\right)}{10}\\ \\x = 250\sin 60\end{gathered}$

Usando o valor do enunciado para sen 60º

                                              $\Large\begin{gathered}x = 250 \cdot 0{,}85\\ \\x = 212{,}5\text{ m/s}\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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