um projectil é lançado a partir do solo, com uma velocidade v=200/s, formando um ângulo de a=40°.
a) A altura máxima do projectil.
b) A velocidade com que o projectil atinge no solo.
c) Determinar o alcance máximo atingido pelo corpo no solo.
d) Achar a velocidade e a posição do projectil depois de 20 segundo apois o seu lançamento.
Soluções para a tarefa
Para resolver este tipo de problema, é necessário decompor a velocidade do projétil em componentes vertical e horizontal.
Note que o movimento do projétil na vertical é uniformemente variado, pois está sob a ação da aceleração da gravidade, que é constante e vale aproximadamente 10 m/s². Por outro lado, o movimento do projétil na horizontal é uniforme, ou seja, na horizontal, a velocidade do projétil é constante e a aceleração é nula.
Se o projétil é lançado com uma velocidade inicial de 200 m/s formando um ângulo de 40° com a horizontal, podemos concluir que:
A componente horizontal da velocidade inicial é v0h = 200*cos(40°) = 200*0,766 = 153,2 m/s;
A componente vertical da velocidade inicial é v0v: 200*sen(40°) = 200*0,643 = 128,6 m/s;
Como o movimento do projétil na vertical é uniformemente variado, a função horária do espaço na vertical terá o seguinte formato:
h(t) = h0 + v0v*t + at²/2
Onde:
t é um instante de tempo qualquer;
h é a altura do projétil em função do instante de tempo t;
h0 é a altura inicial, que vale 0;
v0v é a velocidade vertical inicial, que vale 128,6 m/s;
a é a aceleração, que, nesse caso, é a aceleração da gravidade. Note que a = g = -10 m/s², pois adotamos o sentido da trajetória para cima e o vetor aceleração da gravidade aponta para baixo.
Logo, temos:
h(t) = 128,6*t + (-10)t²/2
h(t) = 128,6t - 5t²
A função horária da velocidade na vertical terá o seguinte formato:
v(t) = v0v + at
Onde:
t representa um instante de tempo qualquer;
v é a velocidade em função do instante de tempo t considerado;
v0v é a velocidade inicial vertical do projétil;
a é a aceleração, que, nesse caso, é a aceleração da gravidade. Note que a = g = -10 m/s², pois adotamos o sentido da trajetória para cima e o vetor aceleração da gravidade aponta para baixo.
Logo, temos:
v(t) = 128,6 - 10t
Agora, respondendo os itens:
a)
A altura máxima do projétil é atingida quando v = 0. Então:
v(t) = 128,6 - 10t
0 = 128,6 - 10t
10t = 128,6
t = 12,86 s
Esse é o instante em que o projétil atinge altura máxima. Para descobrir qual é essa altura máxima, utilizamos a função horária do espaço para esse instante de tempo:
h(t) = 128,6t - 5t²
h(12,86) = 128,6*12,86 - 5*(12,86)²
h(12,86) = 1653,8 - 826,9
h(12,86) = 826,9 m
826,9 metros é a altura máxima atingida pelo projétil.
b)
O projétil atinge o solo em h = 0. Logo, temos:
h(t) = 128,6t - 5t²
0 = 128,6t - 5t²
0 = t*(128,6 - 5t)
Logo, temos:
t = 0
ou
128,6 - 5t = 0
128,6 = 5t
t = 128,6/5
t = 25,72 s
Como t = 0 é o instante em que o projétil é lançado, então t = 25,72 é o instante em que ele chega novamente no solo.
Utilizando a função horária da velocidade para esse instante, temos:
v(t) = 128,6 - 10t
v(25,72) = 128,6 - 10*(25,72)
v(25,72) = -128,6 m/s
A velocidade com que o projétil atinge o solo é -128,6 m/s. Note que o sinal está negativo porque o vetor velocidade aponta para baixo nesse instante. O módulo da velocidade é 128,6 m/s.
c)
Como a velocidade horizontal do projétil é constante, podemos utilizar a definição de velocidade escalar média, que é a razão entre a variação de espaço e o intervalo de tempo decorrido:
Vm = ΔS/Δt
Sendo x o alcance máximo, temos:
v0v = x/Δt
x = v0v*Δt
O intervalo de tempo Δt será a diferença entre o instante final, que é o instante em que o projétil atinge o solo, t = 25,72 s, e o instante inicial, que é t = 0. Logo, Δt = 25,72 s e temos:
x = (153,2)*(25,72)
x = 3940,3 m
O alcance máximo do projétil é aproximadamente 3940,3 metros.
d)
Após 20 segundos, a velocidade vertical do projétil será:
v(t) = 128,6 - 10t
v(20) = 128,6 - 10*20
v(20) = 128,6 - 200
v(20) = -71,4 m/s
A componente horizontal é constante e vale sempre 153,2 m/s.
Logo, temos:
V = √[(-71,4)² + (153,2)²]
V = √28568
V = 169 m/s
Em relação à posição do projétil, a posição vertical dele será:
h(t) = 128,6t - 5t²
h(20) = 128,6*20 - 5*20²
h(20) = 572 m
A posição horizontal pode ser calculada com a definição de velocidade escalar média:
x = v0v*Δt
x = (153,2)*20
x = 3064 m
Então, o projétil estará no ponto (x = 3064, y = 572) após 20 segundos.