Question

Um programa de computador inicia com uma tela preta e um ponto branco nessa tela. Após 3 segundos, esse ponto branco tem sua cor trocada para vermelho e um novo ponto branco é exibido em algum lugar da tela que esteja preto. O programa continua de maneira que: •  a cada segundo, para cada ponto vermelho, umnovo ponto branco é exibido na tela; •  cada ponto branco, após 3 segundos de exibição, torna-se vermelho e origina um novo ponto branco, em alguma região preta da tela. Nessas condições, após 15 segundos do início do programa, o número de pontos brancos e vermelhos exibidos na tela é

(A) 189.

(B) 144.

(C) 129.

(D) 159.

(E) 174.

Answer 1

Olá, Elen.

 

A situação descrita no enunciado da questão define o que, na Matemática, denominamos de sistema dinâmico discreto em duas dimensões, ou seja, é um sistema em que o seu estado muda durante determinados instantes (neste caso, de um em um segundo: 1s, 2s, 3s, ...., 15s) e é determinado por duas variáveis (pontos vermelhos e pontos brancos). Este sistema tem ainda outra característica importante: suas variáveis não são independentes, ou seja, o estado atual de uma interfere no próximo estado da outra.

Para construirmos um modelo matemático que descreva o comportamento deste sistema ao longo dos instantes de tempo (1s, ..., 15s), chamemos de:

 

$<var>\begin{cases} x_k: \text{o n\'umero de pontos vermelhos no instante de tempo }k \\y_k: \text{o n\'umero de pontos brancos no instante de tempo }k \end{cases}</var>$

 

Nos primeiros 2 segundos, o sistema comporta-se inicialmente da seguinte forma:

 

$<var>\begin{cases} \text{em k = 1s: }x_1 = 0, y_1 = 1\\\text{em k = 2s: }x_2 = 0, y_2 = 1 \end{cases}</var>$

 

No instante k = 3s aparece o primeiro ponto vermelho e desaparece o ponto branco inicial. Este ponto vermelho faz com que apareça outro ponto branco a cada instante k. Assim, nos instantes k = 3, 4 e 5s, o sistema passa, então, a se comportar da seguinte forma:

 

$<var>\begin{cases} \text{k = 3s: }x_3 = 1, y_1 = 1 \\ \text{k = 4s: }x_4 = 1, y_2 = 2 \\ \text{k = 5s: }x_5 =1, y_5 = 3 \end{cases}</var>$

 

Ou seja, para   $3 \leq k \leq 5,$   o sistema pode ser descrito da seguinte forma:

 

$<var>\begin{cases} x_k = 1 \\ y_k = k-2 \end{cases}</var>$

 

O sistema, a partir do instante k = 6s, passa a se comportar, de acordo com o enunciado, da seguinte forma:

 

(1) a cada segundo k, para cada ponto vermelho, um novo ponto branco é exibido na tela; em outras palavras, isto quer dizer, matematicamente, que   $y_k$   terá seu valor atualizado da seguinte forma:   $y_k = y_{k-1} + x_k;$

 

(2) cada ponto branco, após 3 segundos de exibição, torna-se vermelho e origina um novo ponto branco, em alguma região preta da tela; em outras palavras, isto quer dizer, matematicamente, que   $x_k$   terá seu valor atualizado da seguinte forma:   $x_k = x_{k-1} + y_{k-3};$   $y_k,$   por sua vez, terá seu valor reduzido da seguinte forma:   $y_k = y_{k-1} + x_k - y_{k-3};$   note que, como os pontos brancos de 3s atrás se tornaram vermelhos, $y_{k-3}$   é adicionado a   $x_k$   e, simultaneamente, é subtraído de   $y_k.$

 

O modelo matemático que descreve completamente o sistema dinâmico discreto de duas dimensões do problema é, portanto:

 

$<var>\begin{cases} x_k=\begin{cases} 0, \text{ se } 1 \leq k \leq 2 \\ 1, \text{ se } 3 \leq k \leq 5 \\ x_{k-1} + y_{k-3}, \text{ se } k \geq 6 \end{cases} \\\\ y_k=\begin{cases} 1, \text{ se } 1 \leq k \leq 2 \\ k-2, \text{ se } 3 \leq k \leq 5 \\ y_{k-1} + x_{k} - y_{k-3}, \text{ se } k \geq 6 \end{cases} \end{cases}</var>$

 

Para descobrirmos quantos pontos vermelhos e brancos teremos após transcorridos 15s, devemos realizar 15 iterações no modelo matemático construído e, obter, ao final, os valores de   $x_{15}$    e   $y_{15}.$

 

Na tabela em anexo, estão os valores de   $x_k$   e   $y_k$   até a 15.ª iteração.

 

Nos cálculos demonstrados na tabela, obtivemos os valores   $x_{15}=189$   e   $y_{15}=305.$

 

Ocorre que o enunciado da questão pede o número de pontos brancos e vermelhos. Pelos resultados que encontramos, seria   $x_{15} + y_{15}= 189 + 305 = 494\ pontos.$

 

Como, entre as respostas disponíveis, temos 189 (letra “D”), entendemos que esta seria a resposta que mais se aproxima dos resultados que encontramos. Por ser uma questão pertencente ao recente concurso de Papiloscopista da Polícia Civil, ocorrido em março de 2013, é bem possível que o examinador tenha se equivocado no enunciado (o correto seria apenas “número de pontos vermelhos”).

 

Estamos à disposição no chat para esclarecer quaisquer dúvidas.

:)

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