Question

Um professor, para manter seus alunos ocupados, mandou que somassem todos os números de um a cem. Esperava que eles passassem bastante tempo executando a tarefa. Para sua surpresa, em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a resposta correta: 5.050. Como ele fez a conta tão rápido? Gauss observou que se somasse o primeiro número com o último, 1 + 100, obtinha 101. Se somasse o segundo com o penúltimo, 2 + 99, também obtinha 101. Somando o terceiro número com o antepenúltimo, 3 + 98, o resultado também era 101. Percebeu então que, na verdade, somar todos os números de 1 a 100 correspondia a somar 50 vezes o número 101, o que resulta em 5.050. E assim, ainda criança, Gauss inventou a fórmula da soma de progressões aritméticas. Gauss viveu entre 1777 e 1855 e foi sem dúvida um dos maiores matemáticos que já existiram. É por muitos considerado o maior gênio matemático de todos os tempos, razão pela qual também é conhecido como o Príncipe da Matemática.



Malcolm é um especialista na área de TI. No segundo semestre de 2021, foi contratado pela empresa M.X TecLive para realizar manutenções em 1485 computadores. Sua forma de trabalhar chamou a atenção, pois o mesmo trabalhava da seguinte maneira: no primeiro dia, deixou três máquinas prontas, e, a cada dia de trabalho, fez quatro máquinas a mais do que havia feito no dia anterior.

a) Com base nos dados informados, apresente uma fórmula do termo geral que determina a quantidade de máquinas que Malcolm conseguiu arrumar em x dias. Apresente um desenvolvimento para justificar sua resposta.



b) Malcolm precisou de quantos dias para completar sua tarefa? Apresente um desenvolvimento para justificar sua resposta.



c) Malcolm criou uma senha padrão para acessar todas as máquinas, sendo o resultado da soma dos 55 primeiros números naturais pares. Desenvolva o cálculo e apresente a senha padrão registrada pelo Malcolm.

Answer 1

Resposta: Questão 01 - Um professor...

5.050

Explicação passo a passo:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27+28+29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+41+42+43+44+45+46+47+48+49+50+51+52+53+54+55+56+57+58+59+60+61+62+63+64+65+66+67+68+69+70+71+72+73+74+75+76+77+78+79+80+81+82+83+84+85+86+87+88+89+90+91+92+93+94+95+96+97+98+99+100=5.050

espero ter ajudado!

Answer 2

De acordo com os conceitos relacionados a Progressões Aritméticas:

a) A expressão geral da Soma de PA encontrada por Malcolm foi

$S_x=2x^2+x$;

b) Malcolm levou 27 dias para completar a tarefa;

c) A senha é o número 2970.

Progressão Aritmética - PA

Definição: Toda sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante (razão da PA - r) ao termo anterior é uma progressão aritmética - PA.

a) Com base no enunciado temos a seguinte sequência:

1º dia: 3

2º dia: 3+4 = 7

3º dia: 3+4+4 = 11

4º dia: 3+4+4+4 = 15

...

aₓº dia: 3+4+4+4+...+4 = 3+(x-1).4 (observe que a parcela 4 aparecerá x-1 vezes)

Utilizando o mesmo raciocínio apresentado por Gauss sabemos que neste tipo de sequência, a soma dos termos dos extremos é sempre igual a soma dos termos equidistantes dos extremos.

Assim,

$S_x=\dfrac{(a_1+a_x)\cdot x}{2}\\\\S_x=\dfrac{[3+3+(x-1)\cdot 4]\cdot x}{2}\\\\S_x=\dfrac{4x^2+2x}{2}\\\\S_x=2x^2+x$

b) Neste caso devemos verificar a soma da PA que forneça o valor total de 1485 computadores.

$2x^2+x=1485\\\\2x^2+x-1485=0$

Cujas raízes são:

$x'=-\dfrac{55}{2} \ e \ x''=27$

Como a raiz negativa não convém, Malcolm realizou a tarefa em 27 dias.

c) Utilizando a expressão do termo geral de uma PA

$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$

E da soma dos "n" primeiros termos de uma PA

$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$

Temos a seguinte sequência (0,2,4,6,...) considerando que "zero" é o primeiro número natural par. Calculando o termo 55º temos:

$a_{55}=a_1+54r\\\\a_{55}=0+54\cdot 2\\\\a_{55}=108$

Por fim, calculando a soma dos 55 primeiros números pares obtemos:

$S_{55}=\dfrac{(0+108)\cdot 55}{2}\\\\S_{55}=54\cdot 55\\\\S_{55}=2970$

Para saber mais sobre Progressão Aritmética - PA acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/13107183

https://brainly.com.br/tarefa/9789848

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