Question

Um professor desenha uma sequencia de triangulos retangulos no quadro de modo que cada triangulo a partir do segundo tem a hipotenusa igual a 2/3 da hipotenusa do triangulo anterior.
Sabendo-se que o primeiro triangulo tem os catetos iguais a k e 2,4k, a hipotenusa do quinto triangulo da sequencia é:

A) 16K/81
B) 104K/15
C) 192K/405
D) 208K/405
E) 1053K/80

Resposta: letra D

Answer 1

Ele quer saber a hipotenusa no quinto triângulo e para isso nos da uma relação com a hipotenusa de um outro triângulo, que no caso é o primeiro triângulo da sequência. Logo, primeiramente vamos calcular o valor da hipotenusa desse primeiro triângulo através dos dados que ele deu:
Cateto(a) = k
Cateto(b) = 2,4k
Hipotenusa² = Cateto(a)² + Cateto(b)² 
Hipotenusa² = k² + (2,4k)²
Hipotenusa² = k² + 5,76k²
Hipotenusa² = 6,76k² 
Hipotenusa = √(6,76k²)
Hipotenusa = 2,6k 

Agora temos o valor da hipotenusa do primeiro triângulo que é 2,6k. Além dessa informação, ele diz que a partir do segundo triângulo, o próximo triângulo formado terá 2/3 da hipotenusa do anterior. Seguindo a lógica da sequência, o terceiro terá 2/3 da hipotenusa do segundo, o quarto 2/3 do terceiro e por fim, o quinto, 2/3 da hipotenusa do quarto. Então basta multiplicarmos 4x esses 2/3 devido a sequência:

$\frac{2}{3} . \frac{2}{3} . \frac{2}{3} . \frac{2}{3} = \frac{16}{81}$

Logo, a hipotenusa do quinto triângulo será essa sequência (repare que na sequência foram multiplicados 4x porque o primeiro triângulo não conta, então não poderia ser 5x, e como nosso objetivo é chegar até o quinto triângulo, paramos em 4x, se quisessemos 6, seria 5x ..) multiplicada pelo valor da hipotenusa achado:
$\frac{16}{81} . 2,6k = \frac{16 . 26}{81 . 10} k = \frac{416}{810} k = \frac{208}{405} k$

-Escrevi 2,6 em sua forma fracionária que é 26/10-

Answer 2

A medida da hipotenusa do quinto triângulo será 208K/405.

A relação entre os catetos e a hipotenusa de um triângulo é dada pelo Teorema de Pitágoras, que corresponde a seguinte expressão:

A² = B² + C²

Sabemos que no primeiro triângulo, os catetos valem k e 2,4 k, logo, a hipotenusa vale:

x² = k² + (2,4.k)²

x² = 6,76.k²

x = 2,6.k

x = 13K/5

Sabemos que a partir do segundo triângulo, a hipotenusa vale 2/3 do anterior, o segundo triângulo terá hipotenusa igual a (2/3)(13K/5), o terceiro terá hipotenusa igual a (2/3)(2/3)(13K/5), e assim por diante. O quinto triângulo terá hipotenusa dada por:

x = (2/3)(2/3)(2/3)(2/3)(13K/5)

x = (2/3)⁴(13K/5)

x = (16/81)(13K/5)

x = 208K/405

Resposta: D

Leia mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/18733298